第87讲曲面积分计算法(1) 377 第87讲曲面积分计算法(1) 、对面积的曲面积分的计算法 1.公式及基本计算方法 若曲面∑由方程z=x(x,y)给出,Σ在xOy面上的投影区域为D,x,(x,y),xz,x,y) 在D,上连续,则函数f(x,y,z)在曲面Σ上对面积的曲面积分可化为二元函数f(x,y, z(x,y)在平面区域D上的二重积分 f(x,y,x)ds=‖x,y,x(x,y)√1+ x·y 若曲面Σ由方程x=x(y,z)或y=y(x,z)给出时,可类似 地把曲面积分化为Dx或Dx上的二重积分 ∑ f(r,y,2)ds=lf[(y,x),y, 2]v1+xy+rid 或‖f(x,y,z)dS f[: √1+y+ydx 图87-1 例1计算‖(2xy-2x2-x+z)dS,其中Σ为平面2x+2y+x=6在第一卦限中 的部分 解曲面Σ的方程为x=6-2(x+y),它在xy面上的投影区域D,为0≤x≤3 0≤y≤3 又z'x=-2 2, ds dxd 故 Te 2x2-x+e)ds 6-2(x+y)]·3dxd 2r 例2计算(xy+y=+x).其中习为锥面:=+y被柱面x+y=20x 所截得的有限部分 解曲面∑为锥面z=√x2+y2上介于柱面内的部分,故∑的方程为x=√x+y 它在xOy面上的投影区域为x2+y2≤2ax,即圆域(x-a)2+y≤a2 ds 1+22+:lardy drd 又曲面Σ关于zOx面对称,被积函数中xy和y关于y均为奇函数,故有 ryds ds= o
378 高等数学重点难点100讲 于是 (xy+yz+z)ds=zds=‖x√r+y2√2dxdy, acos 64 rcosddr 15 例3计算中(x2+y)dS,其中E是锥面x=√x+y及平面x=1所图成区域的 整个边界曲面. 解曲面Σ由锥面∑1和平面∑2组成其中,Σ的方程为z=√x2+y2(0≤z≤1), 在aOy面上的投影区域为Dn:x2+y≤1dS=√1++dy=√ 2dxdy ∑2的方程为z=1,它在xOy面上的投影域仍为D,:x2+y2≤1;ds= √1+z2+ giddy=drdy,于是 (r2+y)dS=(x2+y2)dS+(r2+y)ds +y2)√2dxdy+‖(x2+y2)drdy =|do√2r2dr+| de[rdr=(√2+1)x 例4计算≠+y4S,其中Σ是柱面x+y2=1介于平面x=0及=2之间的 部分 解曲面x的方程为x=√1-y2,由两块曲面:x=1-y(≤x≤2)和 ∑2x=-√1-y2(0≤x≤2)组成,它们的投影区域都是Dm:-1≤y≤1,0≤x≤2 又x:x,=-=y,x,=0,dS=√1+x+xdyd= d yd √T 又S2 x=0,ds +r3+ridda= d ydz 所以,原式= ds+ ds 「a-+ dydz+a-y)+yV1 2∫dy dz= arcsin =4. ds 例5计算 +y+,∑:平面x=0及x=1之间的圆柱面x2+y2=1(图87-2) ds 解将」x+y+ 化为对x,z的二重积分计算,这时需要根据∑的方程x2+ 1将y表示成x、z的单值函数,但由x2+y2=1解得y=±1-x是多值函数为此将 z分成∑z和∑两块.∑:y1=-√1-x2,:y:=√ 0
第87讲曲面积分计算法(1) 379 ax=0.E左及右在xOz面上的投影区域均为图873所示的区域Dn又 ay a x2+y2=1可代入被积函数中化简.从而 ds ds ds ds !x2+y+2-1+z2=出1+ 1+ 1+2√1+()+( dzdz =√1+(+( dxdz (1+z2)√1 图87-2 图87-3 drda 由于积分域Dx及被积函数 的对称性,所以 (1+z2)√1-x 6,(1+x3)√ a+4=学其中为D,位于:轴有边的区域 ds raa 因此 1+ 注意本题也可以化为Dx上的二重积分计算,但不能化为D2上的二重积分,这是因 为这时不能从Σ的方程x2+y2=1表现出x=x(x,y),也就无法求出原积分的值.应注意 的是如果认为S在xOy面上的投影为圆周,面积为零,由此就说原积分的值为零,这个结 论是错误的 小结对面积的曲面积分f(x,y,2)dS的计算方法是化为二重积分计算,化为二重积 分的方法步骤是: (1)确定二重积分的积分域,它是积分曲面∑在坐标面上的投影区域,这个投影区域是 由Σ的方程或给出的形式(显式)来确定的,若Σ以显式方程给出,则当显式方程为x=:(x, y)时,一般取投影区域D,;当显式方程为x=x(y,z)时,一般取投影区域Dx,当显式方程 为y=y(x,z)时,一般取投影区域D灬若Σ以隐式方程F(x,y,z)=0给出,则应根据该 方程来确定投影区域.当确定一个投影区域时,必须能表示成相应的二元函数(如取投影 区域D灬,Σ必须能表成y=y(x,z),并且要考虑便于二重积分的计算 (2)由Σ的方程(如果是隐式方程)解出定义在(1)中确定的投影区域上的单值函数,若 不是单值,则应将Σ分成几块,使在每一块上是单值的
380 高等数学重点难点100讲 (3)‖f(x,y,z)dS中的变量x,y,z之一用(2)中确定的单值函数代人;dS用曲面z的 面积元素的表达式代人;积分曲面Σ换成相应的投影区域D 2.应用 (1)求质量.当f(x,y,x)>0时,曲面积分f(x,y,x)dS可以看成是以∫(x,y,x)为 面密度的曲面构件的质量. 例6求抛物面壳x=2(x2+y2)(0x≤1)的质量,此壳的面密度的大小为P=x 解曲面方程x=1(x2+y)(0≤x≤1)在xOy面上的投影D,为x2+y≤2 又 dy y,dS=√1+x2+y2drdy 于是 =p(r, y, 2)ds=zdS (x2+y2)√1+x2+y2drd 1n2,√1 r-u de 23(1+a)/22 、5(1+4)dn=(6√3+1) (2)求面积设:z=f(x,y)(与平行z轴的直线只交于一点)在xOy平面上的投影域 为D则的面积A=Js=[√1++dy的其他形式有类似的公式 例7求曲面x2+y z2和y+z=2所围成的立体的表面积 解记∑为立体的表面从x2+y2=1x2和y+x=2中消去,?×(y+1)2 1,故Σ在xOy平面的投影区域为D:x+(+1)2 21.由工,S2两部分组成,其中, x1:=√3√x+y2,(x,y)∈D;S:x=2-y,(x,y)∈D,所求表面积 ds ds+ds x2+y2 2 drdy +v2 drdy=(2+2) ] drdy (2+√2)r·√3·√2=2√3(1+√2)π 二、对坐标的曲面积分的计算法 1.对坐标的曲面积分解法有三种,先讨论其中的两种,第三种第88讲讨论 (1)通过投影化为二重积分
第87讲曲面积分计算法(1) 381 在计算对坐标的曲面积分P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dadx+R(x,y,z)drdy时,三 个积分要分别计算,在计算」Ra,y,)xdy时,要把x表示成x=2(x,y单值函数,x在 xOy面上的投影为D灬当曲面2的指向与z轴正向的夹角小于2(即的法向量n与z轴 的夹角(n)为锐角)时,称为上侧,此时,R(x,y,x)drdy、化为二重积分 RL,y, z( y) Jd.rdy;当曲面2的指向与z轴正向的夹角大于(即Σ的法向量n与z轴正向的夹角 (m,)为钝角)时,称为下侧,此时,「k(x,yx)dy为三重积生一[x y)ddy同理,在计算|P(x,y,z)dydz或|Q(x,y,z)dadx时,要分别表示为x=x(y, z)或y=y(x,x),并分别向yOz或zOx平面投影,Σ的指向与x轴或y轴正向夹角小于 s(即x的法向量n与x轴或y轴的夹角(n,)或,了)为锐角)时,称为前侧或右侧,此时化 为二重积分时取正号;的指向与x轴或y轴正向夹角大于时,称为后侧或左侧,此时化 为二重积分时取负号. dydz=±‖P[x(y,x),y,x]d )dzdx =+Q[r,y(r, z),z]dzd 例8计算dxdy,其中Σ是球面x2+y2+x2=R2下半部分的下侧 解曲面Σ的方程为x=-√R-x2-y2,它在xOy面上的投影区域为D:x2+y ≤R2,又∑取下侧故化成的二重积分前应取负号,于是 Medrdy=-IVR-r-yDdrdy=de YR-rrdr (R2-r2)2) 2mR3, 例9计算- yeddo+ydyd其中是柱面r+x2 a2在x≥0,y≥0两卦限内被平面y=0及y=h所截得部分的 外侧 解先计算积分 ryzdxdy.如图874可看作由和习 组成,1为x=√a-x2的上侧,x2为x=-√a-x的下侧, 图87-4 它们在xOy面上的投影区域都是矩形D,:0≤x≤a,0≤y≤h,注意到符号,有
382 高等数学重点难点100讲 ryzdxdy=xyzdxdy + ryzdrdy √a-rddy-‖xy(-√a-x)dd D =2Iy 2|x 再计算积分 ydydz,注意:上述对坐标x,y积分时是向xOy面投影,求出曲面Σ关于 x,y的显式函数x=x(x,y)=士√a2-x2,而这里是对坐标y,z进行积分,应向yOz面投 影,解出曲面∑关于y,的显式函数x=x(y,x).这时曲面Σ为x=√a-x的前侧,它 在yOz平面上的投影区域也是矩形Dx0≤y≤h,-a≤z≤a,由于Σ取前侧,故化成的 二重积分前取正号,于是 yaz 综上所述,得 xyzdxdy yd ydz=ryzdxdy +ydydelgh'tah 例10计算xddy+ ryd ydz+ yzdxdI,其中Σ是平面x=0,y=0,x=0,x+ y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 解法1先求组成二的各片平面上的组合型积分,再求和 曲面S由4片平面组成,记Σ在xOy,yOz,xOx面上的部分 分别为Σ1,S3,S,Σ在x+y+z=1面上的部分为2 ∑1的方程为x=0,方向向下,它在xOy面上的投影区域为 )s:x≥0,y≥0,x+y≤1,在yOx面和zOx面上的投影为线 段,面积为0,故有 rzdxdy ryd ydz yzdzdr x·0drdy=0; ∑2面的方程为x=0,方向向后,它在yOz面上的投影区域 图87-5 为Dn;y≥0,x≥0y+x≤1,在其他坐标面上的投影的面积为o,故有 za.ray +ryd ydz yzd≈dx 0· id ydz=0; ∑3面的方程为y=0,方向向左,它在xOx面上的投影区域为D4:x≥0,y≥0,x+x ≤1,在其他坐标面上的投影的面积为0,故有 rzdxdy +ryd ydz yzdzdr 0·dzdr=0. D,r 24面的方程为x+y+x=1,它在xOy面,yOx面,zOx面上的投影区域分别为D, x≥0,y≥0x+y≤1,D4:y≥0,z≥0y+x≤1,D4:x≥0,x≥0x+x≤1.它们 是全等的三角形,又Σ4面对xOy面,yO面,zOx面的方向分别为向上,向前和向右,故有
第87讲曲面积分计算法(1) 383 reddy rydydz yzdzdx r(1-r-y)dxdy+l(1-y-z)ydydz +(- x)zdzdr r(1-I-ydrdy=3 rdr(1-x-y)dy= I 综上可知,xddy+ xyd ydz+ yezd. r=‖+‖++ 解法2先求整个曲面∑上的单一型积分,再求和 reddy +‖1+‖+ 0+0+0+x(1-x-y)dxd )d 由积分变元的轮换对称性可知 rydz=仲 yzdzdx= 2 所以4 drdy+ r yd ydz+ yada=248 Add 小结利用投影法对坐标的曲面积分f(x,y、x)→dydx(*)的计算方法是化为二重 dedr 积分计算化为二重积分的方法步骤是: ①根据被积函数表达式中有向曲面Σ上的小曲面△S在坐标面上的投影,确定二在哪 个坐标面上的投影区域为二重积分域,并求出这个投影区域; ②由Σ的方程解出定义在(1)中确定的投影区域上的单值函数,若不是单值,则应将S 分成几块,使在每一块上是单值的; ③(*)式中的变量x,y,z之一用(2)中确定的单值函数代入; ④根据∑的定侧向量指向投影坐标面的上(前,后)方或下(后,左)方,二重积分前取 +”或“一”号 上述步骤可概括为“一投、二代、三定号,将曲面积分化为二重积分” 计算对坐标的曲面积分必须注意将曲面积分化为二重积分时,由于曲面侧向不同所引 起的积分符号上的不同 (2)利用两类曲面积分之间的联系,把不同的单一型积分化成相同的单一型积分,再化 成单一型二重积分. 将Pddz+ Qdzdx+ Rddy化为对x,y的单一型的曲面积分由 cosads=dydz, cosPaS=dzdr, costs= drdvin dydz_ dedr drdy=dS(其中,cosa,os,cosw是有向 cosa Bcos 曲面∑上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦) 于是 P(r,y, z)dydz=P(r,y,c) COSy
384 高等数学重点难点100讲 Q(x,y, z)dzdx=Q(x,y,z) COSD Pdydz+Qdzdx rdxdy (P cosa +& Cosp + R)drdy COST cOSy 同样的方法,也可化为对dydz或对dzdx的单一型积分 ∑ 例11计算‖[f(x,y,z)+ x]dydz+[2f(x,y,x)+1 y]dadx+[f(x,y,z)+z]dxdy,其中f(x,y,z)是连续函数, 是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧 解把该曲面积分化为对ddy的单一型积分,得 图87-6 原式=(x,y)+x]09+2(xy3)+y3 +[f(r,y, z)+z],dzdy 平面S的方程为x-y+z=1,因取上侧,故其法向量应向上,因而取n={1,-1,1}, 于是 coSa cosB= COST 所以,原式={f(x,y,x)+x]·1 [2f(x,y,z)+y]·(-1)+[f(x,y,z)+x]dxdy -y+a)drdy= lardy (曲面积分) ,(重积分) △AOB的面积=1 例12计算 red ydz+y(x2-)ddr- x'zdrdy,其中∑是抛物面x=x2+yi(a 0)在0≤z≤1之间部分的下侧 解把该曲线积分化为对dxdy的单一型积分 曲面∑的方程为z=x2+y2,取下侧,故其法向量方向应向 下,即cosv<0,因而取n={2x,2y,-1},于是, 2+4y2+ B 4x2+4y2+1 COSt- √4x+4y+1 原式=‖x cosa +vcr-2 drd COST 图87-7 [ra(- 2r)+y(r2-2)(-2y)-r'zdrdy 曲面Σ在xOy面上的投影区域为D:x2+y2≤1,把它化成二重积分,得 原式=--2x2(x2+y2)-2y2(x2-x2-y2)-x2(x2+y2)drdy
第87讲曲面积分计算法(1) 385 [3x2(x2+y2)-2y']dxdy= de(3rcos28-2rsin'0)r =(3cos30-2in0)dr如≈矿 2.应用 对坐标的曲面积分的概念来自物理中不可压缩的稳定流体流向曲面一侧的流量设稳 定流动的不可压缩流体(假设密度P=1)的速度场由v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z) +R(x,y,z)k给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数P,Q,尺都在Σ上连续,在单位时间 内流向∑指定侧的流体的质量,即流量φ=‖P(x,y,x)dydx+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y, ≈)aray 例13设流速v=xi+yj+xk求下列情形下,流体的流量Q:(1)穿过圆锥x2+y ≤x2(0≤x≤h)的侧面,法向量朝外;(2)穿过上述圆锥的底面,法向量朝外 解(1)Q=wnds=‖ dyde+ yazd+drdy I (cosa+ycosB+zcosv)dS 其中二即圆锥的侧面,n=(cosa,cosF,cos)是∑的单位法向量,cosu0,对坐标的曲面积分八(xy,)dy 的积分和Σf(,,,)(△S,),中的(△S),是小曲面4S在xOy面上的投影,当曲面的侧 向改变时,(△S,),要变号,所以对面积的曲面积分与曲面的侧向无关,对坐标的曲面积分与 曲面的侧向有关 (2)联系: Pd ydz+ Qdzdx+ Eddy=‖( Pcos+aeos+kos)ds
386 高等数学重点难点100讲 (P, Q, R).cosa, cosp, cosv)ds A,ds, 其中cosa,cos,cos是有向曲面Σ上点(x,y,x)处的法向量的方向余弦A={P,Q,R},n cosa,cosB,cos},A,是A在n上的投影 例14把对坐标的曲面积分P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy化 成对面积的曲面积分,其中∑是抛物面z=8-(x2+y2)在xOy面上方部分的上侧 解∑的方程为x=8-(x2+y2),取上侧,故cos>0,因而取n={2x,2y,1},于是, cosa +4r2+4y2 coSp= 2I 2 COSy 1+4x2+4y2 1+4x2+4y2 P(r,y,z)dydz+Q(,,)dzdr +R(r,y, z)dxdy= m 2xP+ 2y+ rds. 4x2+4
