360 高等数学重点难点100讲 第84讲重积分的应用 1.利用二量积分求曲面面积 设二元函数z=f(x,y)及其一阶偏早数连续,它所对应的曲面Σ与平行于z轴的直线只交 一点D,为该曲面在xOy平面上的投影,则曲面Σ的面积A为 A 1+ ax+ ayl drd 同样A= √+()+()4,A-1+(+(套d Zaz 分别表示曲面x=g(y,2)与y=h(z,x)在满足相应的条件下的面积 2.二、三重积分在物理上的应用 设平面薄片的面密度为p=p(x,y),薄片在xOy坐标面上占据的区域为D,则 (1)薄片质量 M=p(x, y)dxdy (2)薄片重心(x,y) xp(r, y)dxdy yp(r, y)dxdy 0(x,y pcI, y)drdy (3)薄片关于x,y轴及原点的转动惯量分别为 p(a, y)d x'p(r, y)dxdy, J. 设空间形体的体密度为g=P(x,y,x),则 (4)空间形体』的质量 p(r,y, z)dxdyd (5)空间形体』的重心(x,y,z) xp(r,y, z)dxdydz yp(r, y, z)drdyd zp(r,y,a)drdyd I, y,z)atayal p(r, y, z)dxdydz (6)空间形体D关于x,y,z轴及原点的转动惯量分别为 J=「φ+2)p(x,y,x) drd ydz,J=「(x2+x)xr,y:) odrd yda J=‖(x2+y2)(x,y,z)dxdydz,J=‖(x2+y2+z)p(x,y,z)drdydz (7)物体对空间质点的引力 (i)平面薄片
第84讲重积分的应用 361 占有区域D的平面薄片面密度为p(x,y),它对位于z轴上(0,0,a)点质量为m的质点 的引力为F-(,)其中.,-mg2-_m「 二aP(2,y)d,G是引力常数,=(x2+y2+a2). (i)空间立体 占有空间区域』体密度为p(x,y,z)的物体,对位于(0,0,a)处质量为m的质点的引力 为F={1F,F,F其中F,=Cm3d,F,=Cmm2y,F.=Cm(=2)d是 引力常数r=[x2+y2+(z-a)2] 例1用二重积分求平面图形的面积,而平面图形是由y accost与二坐标轴围成的闭区域 解平面图形D如图84-1,D选为Y一型区域,则面积 2 =cOS A drd dr=cosydy=[sinyi=1 例2设∑是锥面x=√x2+y2被柱面x2=2x割下的部 分,试求Σ的面积 解二的草图如84-2所示.锥面x=√x2+y2与抛物柱面 图31-1 z2=2x的交线在xOy面的投影为x +y2=2x,z=√x+y2被x2=2x割下的部分恰好在柱面x +y2=2x内,其投影区域为D:x2+y2≤2x,即(x-1)2+y 1≤1,而 1+()+()2 √2,故Σ的面积 图84-2 A=√1+(y+(dy=』ddy=√2积 例3求底半径相等的两个直交圆柱体x2+y2=a2与x+x2=a2所围成的立体的 表面积. 解所求表面积在第一卦限分为两片S和S2,第一片S在 圆柱x2+x2=a2上,第二片Σ2在柱面x2+y2=a2上,这两片 曲面的面积相等所求面积是第一片Σ1的16倍.由立体的对称 性,可计算第一卦限部分的习的面积∑1的草图如84-3所示,它 在xOy面投影区域为D1:x2+y2≤a2,x≥0,y≥0,S1的方程 为z=√a-x. 0,而 ay G)2+(3)2 图84-3 故的面积为
362 高等数学重点难点100讲 1+()2+()dxdy= - dxdy dy=al dx=a2 而立体表面积A=16A1=16a2 例4设有一等腰直角三角形薄片,腰长为a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的 距离的平方.求此薄片的重心 解设等腰直角三角形在直角坐标系中位置为如图84-4 所示的三角形区域D,则由题意,任一点(x,y处的面密度P(x,a y)=x2+y2,故薄片质量 M=x+y)=∫a(x+y)y x'y+3yJo'dx [x2(a-x)+(a-x)3]dx x 图84-4 而x=川x(x+y2)da= rdx(r2+y2)dy r[r'y+y]o d 6 ri (a +(a-r))]dr 6 [ar-x+(a'r-3ax2+3ar-x')]dx a415 y=儿(x2+y)l=6 yd (x2+y2)dx= 例5设物体由球面x2+y2+x2=2Rz围成,其每一点的密度为该点到原点的距离平 方,试求物体重心 解依题意任一点(x,y,x)处的密度ρ(x,y,)=x2+y2+x2,设物体所占据的区域 为』,它是球心在(0,0,R)的球体,其质量 CHAOs )d (r'+y+a')dv del sing 2 (32R'cosp)sindy cos'pdcos= I5TR 由对称性,物体重心坐标x=y=0,而 x(x2+y2+ 15 2TR ppdp 15 32R 64R'cosopdo= 10R R 例6求下列均匀薄片的转动惯量 (1)薄片所占据区域D由抛物线y2=2x与直线x=2图成,求J (2)薄片所占据的区域D由y=x2及y=1囫成,求该薄片对直线y=-1的转动惯 解(1)设平面薄片密度为p(常数),D的草图如图845所示,则
第84讲重积分的应用 363 =‖yc=2y2dy2,dz 2P y(2-6y2)dy= 2P(2y? y)dy P (2)薄片所占据区域D的草图如图84-6所示,设薄片密度为p(常数),则任一点(x,y) ∈D到y=-1的距离为|y+1|,故薄片对y=-1的转动惯量 图84-5 图84-6 =(y+1)pdo=p(y+1)d dr +1)2√ydy=2(y+2y+y)d 2p[ +2y2 368 注意一般地有①设l是一条平面直线则薄片关于轴l的转动惯量为J=d(x y)p(x,y)da,其中d(x,y)是D上点(x,y)到轴l的距离.空间立体』关于空间直线l为 轴的转动惯量为J=a2(x,y,xz)p(x,y,z)dv,其中d(x,yz)是上点(x,y,)到直线l 的距离 例7求半圆环a2≤x2+y2≤62(0<a<b)(y≥0)薄 板对原点(0,0)处质量为M的质点的引力,设板上面密度P= py(p为常数) 解由对称性F4=0 df,kt myrcos9=k+yy (k为引力 √x2+ 常数)=k Mersin6·rddr rsin6(极坐标)= kMusin2'0audr,baO 84-7 kMusin'0dr= 2kMu sin'8de. da 24·(b-a)=kM/(b-a) 例8设在xOy面上有一质量为M的均质半圆形薄片,它占有平面区域:x2+y≤R y≥0,质量为m的质点P位于z轴上z=a的位置,求薄片对质点的引力 解由条件,面积为πR2的薄片质量为M,并且密度均匀,则
364 高等数学重点难点100讲 M 2M R 丌R2 由引力公式F=(Fx,F,F},而 dF|=zPdn,=√x+y+(O-a 为位于(x,y,0)处的质量微元与质点P的距离,dF1=dFxy=2 IdFI dF={dFx,dF,dF},其中 dF gmp Ido, dF gmp do, dF. gmp 所以F:=G· m·x·pdσ x2+y2+ (m是质点质量) gMm +y2+a。=0(由对称性) F,=G. paU gMm sing·r 产+a2)2 R +asded gmM single gMm Q4)3/2ar s 丌R gmm 丌R 4 GmMGn R+√R2+a2 R r2 √R+ F d 2GmMa R =-2°mM40a+mr 2GmMa 2mM R 由此得到引力F={Fx,F,F,} 注意关于平面薄片或空间立体对质点的引力问题,我们可以选择适当的坐标系,使质 点位于轴上,而薄片位于xOy平面空间立体也可如此,特别应尽量选择坐标系,使立体或 薄片在坐标系中具有对称性,以便计算
