310 高等数学重点难点100讲 第77讲多元函数微分法(3) 、多元微分学概念的进一步讨论 通过学习我们发现多元函数的极限与连续、微分与积分比一元函数相应的内容要复杂 得多.其原因就在于高维空间几何性质的复杂性,因此,我们无论在讨论多元函数的概念 题、计算题,还是证明题和应用题时,都要充分注意到这一点.下面通过对典型例题的剖析, 希望读者能够对多元微积分的若干重要概念有进一步深人的理解 例1如果一元函数f(xoy)在y处连续,f(x,y)在x处连续,那么二元函数f( y)在点(x,y)处是否必连续? 解未必连续,这只要注意到二元函数连续的定义是建立在二重极限的基础之上,因 此,对每一个变量连续只相当于一种特定方式的极限存在(如对x连续,相当于y=y,x x0),它不能代替所有(x,y)→(xo,y)的方式下极限都存在.因此,我们不能从f(x,y)分别 对每个变量x与y都连续而得出f(x,y)一定是连续的结论.如函数 fCr, y) ,x2+y2≠ 在点(0,0)处,仅当变量x有增量△x时,有 im[f(0+△x,0)-f(0,0)]=lin(0+4x).0 lm2xo+ax)2+02=0, 从而知函数f(x,y)在点(0,0)处对变量x是连续的 同样,f(x,y)在点(0,0)处对变量y也是连续的 但是极限imf(x,y)不存在(取路径y=kx可说明),从而f(x,y)在点(0,0)处是不连 续的 注意若二元函数z=f(x,y)在点(xo,y)处连续,则一元函数f(x,y)在x=x。处, f(x0y)在y=y处必连续;反之,不一定成立这是因为z=f(x,y)在点(x0,y)处连续, 所以点(x,y)以任意方式趋于点(x,y)时,f(x,y)都趋于f(x,y),这包括了沿平行于坐 标轴的直线趋于点(x0,y)的情形;反之,一元函数f(x,y)和f(x0,y)分别在x。和y处连 续时,只能说明点(x,y)沿平行于坐标轴的方向趋于点(x0,y)时,f(x,y)趋于f(x0,y), 不能保证当点(x,y)以任意方式趋于点(x,y)时,∫(x,y)都趋于f(xa,y0).例如,本例当 点(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,由于limf(x,y)=y0 limf(0,y)=lim0=0=f(0,0),所以 y·0 元函数f(0,y)在点y=0处连续但二元函数f(x,y)在点(0,0)处不连续 例2(是非题)下面解法是否正确?为什么? 已知f(x,y)=yxy,求,f2(0,0),(0,0). 由导数公式得f:(x,y) 吉√由于当x一0时,上式无意义故 fx(0,0)不存在,由对称性知f,(0,0)也不存在 解上述解法是错误的事实上,f(0,0)=limf+△x,0)=f(0.0)=im0=0
第77讲多元函数微分法(3) 311 同理得f(0,0)=0,故f(xy),f(x,y)的表达式为 ≠0; f, (r, y) 5V丙”y≠0 0 x=0 0 0. 错误的原因是因为f:(x,y),f,(x,y)在原点(0,0)处不连续所致 例3(多选题)设 f(x,y)=r+yasin(x2+y2),x2+ y2*0: 则在点(0,0)处,f(x,y)() +y2 (A)有极限;(B)连续;(C)有关于x,y的偏导数存在;(D)可微 解下面从多元函数的极限、连续、偏导数、可微等定义出发,通过计算,作出选择 limf(z,y)=lim=+yin(r+ y), m m12+y=m 又00时,上式等于 lim √△xsin2(△x)2 ar02√2·(△x) 故∫(x,y)在(0,0)点不可微.综上,本题应选A,B,C 注意一元函数微分与多元函数微分的联系与区别:当函数y=f(x)在点x处可微, 即△y=A·△x+o(△x)成立时,其中A就是f(x)函数y=f(x)在点x。可微的充 要条件是函数f(x)在点x可导,且当f(x)在点x可微时,它在点x处的微分一定是dy= f(x)dx.一般有f(x)=a2,即函数y=f(x)在x处的导数等于函数的微分与自变量的 微分之商 当函数z=f(x,y)在点(x0,y)处可微,即△z=A·Δx+B·△y+o(p)成立时, 其中A就是 B就是 ,所以当 az 不存在时,函数z在点( ar \(g o)a\.o y)处不可微因而函数z在点(x,y)处也不存在全微分;当ax\x"|,x 存在时,只 az △z △x+ (rn. yo) 有 0,函数z在点(x,y)处才可微分;只有函
312 高等数学重点难点100讲 数z在点(x0,y)处可微分,函数z在点(xo,y)处的全微分才存在,且全微分dz|n, dx t az dy.若上述极限式不成立,即便是 和 ay 均存在,也不能 y) (ro yo) (r 说函数z在点(x0,y)处可微,也不能称 dx+ az dy为函数z在点(x0,y)处的 (x。·yo) 全微分,只不过能形式地写出式子 dx dy dy罢了可见,通常检验一个函数 (x0·y0) 是否可微的一般思维程序应该是:先看它是否连续,如不连续,则不可微;如连续,再看是否 可导,偏导数不存在则必不可微;如f(x,y)在(xo,y)连续,且可导,再看导数是否连续,如 连续则可微;如导数不连续(或连续不易判断时),再像本例那样直接用可微定义来检验 例4(单选题)f(x,y)在点(x,y)处f:(xa,y0),,(x,y)存在是f(x,y)在该点连 续的() (A)充分而非必要条件; (B)必要而非充分条件; (C)充分必要条件; (D)非充分又非必要条件 解初学者往往根据一元函数中的“可导必连续”的结论去选A,作出这种错误选择的 原因在于没有真正理解多元函数的连续性概念与偏导数概念,没弄清两者之间的联系与区 别 以二元函数z=f(x,y)为例,f(x,y)在点(x,y)连续,是指当P(x,y)按任何方式趋 向于P(xo,y)时,函数f(x,y)趋向于f(x,y);由偏导数定义知,f,(x,y)是否存在以及 它的值(如果存在的话)如何,仅仅与f(x,y)在直线y=y上的值有关,从f,(x0y)绝对 得不到函数在上述直线以外其他点处的任何结论 0或 0 考察函数∫(x,y)= 0 其他 af 显然(x)在(0,0)点处两个偏导数az|o0’ay0 存在且为零,但∫(x,y)在该点 不连续因为两个偏导数存在只是描述了f(x,y)在(0,0)点沿x轴及y轴方向的变化率,丝 毫不能保证f(x,y)在(0,0)点连续,事实上,在(0,0)点的任一邻域内总有使f(x,y) f(0,0)=1的点 考察函数h(x,y)=yx+yy,显然h(x,y)在点(0,0)连续,但h(0.0)=im h(0+△x,0)-h(0,0)=imaz=∞,不存在, 可见,连续与偏导数存在不能相互推出,故正确答案应是D 上例中,通过对典型例子的研究使我们排除了A,B,C,从而作出正确的选择.因此,在 学习高等数学的过程中,一方面要下功夫全面系统地掌握基本理论,另一方面应尽量地多记 一些具有启发性的典型例题.这样,在分析问题解决问题时,就会感到“胸中有全局,手中有 典型” 作为练习,请读者作如下两项工作 1)在研读教材中的有关理论后,自己独立证明:z=f(x,y)的极限连续、偏导数、可 微以及偏导数连续有如下关系: f(x,y)连续→f(x,y)极限存在 击连续一f(x,)可檄 f(x,y)的偏导数存在 (2)举反例证明
第77讲多元函数微分法(3) 313 八xy)的极限存在~几xy)连续 八(xy)可微→ 连续 (xy)有偏导数 (其中,符号A→B表示由条件A可推出结论B;符号A、B表示由A不一定可推出B.) 例5(是非题)下面的解法是否正确?为什么? (1)设w=f(x,y,x)=√x2+y2+z2,则有 可f ar ax x2+y2+ (2)设a=f(x,y,z)=√x2+y2+z,且y=x2,则有 x2+y2+z√x2+x2z+z (3)设z=f[gx,y),x,y],记t=y(x,y),则有 可f,」f,女 ar away 解首先应注意到:在=f(x,y,x)中,是将x,y,z都视为自变量时,仅对第一个 变量x求导数,而是无论在=f(x,y,)中,x,y,z之间是否存在函数关系,是函数a 对自变量x偏导数.因此, ()若x,y,z互相独立,即x,y,z均是自变量,则=a (i)若x,y,z之间存在函数关系时,一般≠a 据上述分析知:(1)是正确的,(2)的解法是不对的,正确的解法是: ar y afaf ay arar ay ar√x2+y2+z√x2+y2+ (3)的解法是正确的,因为充分注意到了与是不同的:是复合函数z f[以x,y),x,y]对自变量x的偏导数求分时,[x,y),x,y]中的y看成常数;而是函 数f(x,x,y)对第二个中间变量x的偏导数,求团时,f(x,x,y)中的第一个中间变量a和第 三个中间变量y都看成常数与也有类似的区别 例6(问答题)若x0为f(x,y)的极值点,点(x,y)是否为z=f(x,y)的极值点? 答:不一定 如图77-1的双曲曲面z= +y2的图像,由于其状像一个马鞍,也称为鞍形曲面.原 x2+y2, z=-x2+y2, 点既是曲线 的最高点,又是曲线 x=0 的最低点,即x。=0为 f(x,0)=-x2的极大值点,y=0是f(0,y)=y2的极小值点,显然点(0,0)不是f(x,y x2+y2的极值点 它们的一般关系是: f(x,y)在点(x0,y)取得极大(小)值→f(x,y)和f(x,y)分别在y和x。点取得极
314 高等数学重点难点100讲 大(小)值; f(xo,y)和∫(x,y)分别在y点和x0点取到极值不能推出 f(x,y)在点(x,y)取到极值. 注意数学上要想证明一个结论未必是正确的,只要举出 个反例就可以了,如本讲的例1、例6,都是通过举反例来证明 问题的,因此,希望读者不要忽视反例性证明这一重要的解题方 法 、多元复合函数微分法的进一步讨论 图 77-1 多元复合函数的求导法则是一元复合函数求导法则的推 广,但由于多元复合函数中的函数与中间变量及自变量之间的关系错综复杂,往往使初学者 有不得要领之感,下面通过详细剖析例7、例8,来说明多元复合函数求导的一般思路和应注 意的问题. 例7设u=f(x,y,z),y=g(x,t),t=y(x,x),假定f,9,关于其全部变量都有一阶 连续的偏导数,求 az 解(1)搞清函数的复合关系,求导前首先明确哪些变量是自变量,哪些变量是中间变 量(有的需要引入适当的中间变量)中间变量和自变量的函数关系是如何确定的;作出复合 函数各变量间的关系结构图 从结构图中清楚地看到实际上u是自变量x,z的 x第(1)条连线函数,函数u与自变量x的连线有三条,与z的连续有 xx第(2)条连线两条;第一条连线中的x既是自变量,又是中间变量, x第(3)条连线第二条连线“-yx”中的y是中间变量,x是自变 第(4)条连线 z第(5)条连线量第三条连线 x”中的y是第一中间变 图772 量,t是第二中间变量,x是自变量,第四条连线“ -y-t-x”中的y是第一中间变量,是第二中间变 量,z是自变量,第五条连线中的z既是自变量,又是中间变量 (2)按结构图求导.求导时注意是哪个函数对哪个变量求导,这个变量是自变量还是 中间变量,当这个变量既是自变量又是中间变量时,注意是对中间变量求导数还是对自变量 求导,对某个自变量求偏导数时,还应注意必须经过所有的中间变量而归结到该自变量 af, af 可f+豇f.+?f.,, ay a ar (3)检查求导的正确性.从函数到某自变量的连线有几条,导数的表达式就有几项;每 一条连线有几次复合,这一项就有几个偏导数或导数的乘积;更重要的是,在施行具体的求 导时要清楚,我们是对哪个变量求导,哪些变量是被暂时固定认为是常数的 这里,函数a与自变量x的连线有三条,偏导数 (r 的表达式中有三项: x z:被暂时固定 第一项是函数f(x,y,z)对中间变量的偏导数 (如图773,与(x)的连线u-(x)),求时,f(x,y, 图77-3 z)中的y和z看成常量,在下图虚线所团矩形内的变
第77讲多元函数微分法(3) 315 量被暂时固定 第二项是函数u对中间变量y的偏导数与中间变量对自变量z的偏导数的积, 这个积完全由第二条连线“-y-x”所决定,结构图中的其他变量被暂时固定,参见图 77-4 第三项·要·是函数=/(x,y:)对第一中间变量y的偏导数乘以第一中间变 量y对第二中间变量t的偏导数再乘以第二中间变量t对自变量x的偏导数之积,在求这第 三项的同时,把如下图77-5虚线所围区域内的变量暂时固定: x’被暂时固定 被暂时固定 x 2,被暂时固定 z:被暂时固定 图77-4 图 77-5 同理得2-,+x 注意这里的与是不同的(参看例5) 例8设u=f(x,y,z),g(x2,e),z)=0,y=sinx,其中f,都具有一阶连续偏导数 da 且≠0,求正 解(1)作出结构图如图77-6 在以x2,e,x)=0,即x2,e"m,z)=0中,因为≠0,所以方程(r,e",z)=0确 定了一个z为x的函数z=z(x),又因为y也是x的函数,所以l=f(x,y,z)实际上是( 个)自变量x的函数. 图77-6 (2)按图求导 du a, a a2 af dz az·z,其 d dr ar ay dx (sinx)=cosx是普通的一元函数的导数 91(x2),+9(),+中a=0,即2x1+c9x:十、 而由于z是x的隐函数,故依隐函数求导法,对g(x2,e”,z)=0两边关于x求导得: 敵2x1+ex),将代人的表达式,得 dy d dr dx ax ay coST x (2x +e cosry2)
316 高等数学重点难点100讲 (3)按结构图及求导法则、公式检查求导的正确性, 注意只有一个自变量的复合函数才存在全导数,有两个或两个以上自变量的复合函 数只存在偏导数 例9求d2a az’a 设z=f(x,x-z,yz) ( 解我们分别用三种方法解此题 解法1公式法,将z=f(x,x-y,yz)移项得f(x,x-y,yz)-z=0;令F(x,y, z)=f(x,x-y,yz)-z,则本题可看成由一个三元方程F(x,y,x)=0,确定了一个二元隐 函数x=z(x,y),根据公式=一,=一F为求P…,F,及F…可设x=x-x, v=yz,及叫=F(x,y,z)=f(x,,v)-z,其复合关系图如右: 则F z af au =(yz)y 1=-+y az 图77-7 于是,由隐函数求导公式得 af a z· az ar 1 af af 1 dx+÷dy az a dx b 1 1 au b 解法2(*)式两边分别对x和对y求偏导(记住z是由(*)式确定的x,y的函数z= (x,y)),得 az af, af ar ar 妥-)+, (-3)+当(z+y) 由上述两式分别解得 ar 1+ f 1+ 从而d a a af 注意上面两个方法求导过程中,三个变量x,y,z所处的地位不同.方法一中,求Fx Fy,F2时F(x,y,x)里的x,y,z都看成是独立的变量,函数F对某一变量求偏导时,其余两 个变量都看成常数;而方法二中,方程F(x,y,z)=f(x,x-z,yz)-z=0中的z看成是 x,y的隐函数z=z(x,y),因此方程中的x,y,z就不都是自变量了,只有x,y是自变量的, 方程两边对x(或y)求偏导时,只能把y(或x)看成常量,不能把z看成常量 解法3利用全微分概念求解.全微分等于偏微分的和,根据微分形式不变性,对于某
第77讲多元函数微分法(3) 317 个变量(自变量或中间变量)的偏微分等于对该变量的偏导数与该变量微分之积.这样在 求函数的全微分时,可同时求出偏微分和偏导数,即若df(x,y)=y(x,y)dx+(x,y)dy, ar dy 对(#)或两边求微分得 dz= adr +du+adv=adx +a(dx-dz)+a(zdy ydz 解得: dz dx d a y al 与全微分公式dz=dx+dy比较,得 af ar 1 dy aly a 本例给出的三种解法,是隐函数求导的最常用最基本的方法,望读者给以足够的重视 由法3见,利用一阶全微分形式的不变性求全微分和偏导数,在运算上往往较简便,也不易 出错,特别是要求同时求出全微分和所有的一阶偏导数尤其简便,请看下例 例10设y=f(x,t),而t是由方程F(x,y,t)=0所确定的x,y的函数,,F存在 阶连续偏导数,求正 解法1由方程组确定的隐函数问题,其重点在于对方程组中函数与自变量的确认由 定理知n个(独立的)方程就确定了n个函数,其余都是自变量这里,变量x,y,t受到两个方 程的约市/y-f(x,y)=0并且x是自变量(由可知x是自变量)那么由定理,这两个 F(x,y,t)=0 方程确定了函数t=t(x),y=y(x),按复合函数求导方法,将所给方程两边关于x求导得 a-(P.+P, d 可,dF_9f.亚F d ar aa ar d dt 解得 d afaFaF F+F,+ dy a 解法2利用全微分形式不变性,对所给方程两边求微分得: (77.1) F ay yt a (77.2) 由(77.2)式得 axdx-並 aF y (77.3) a 将(73)式代人(71)得d“a"g a
318 高等数学重点难点100讲 afaF af aF ef af af aF af a ar 即1+ a ay aF 从而aa a aF dr aF aa 注意解法2的最大优点是在微分运算时,可以不必预先区分变量是什么性质把所有 变量都看成自变量先求全微分,再按题意求出所有的导数,当所给问题中的变量之间的关系 比较复杂时,常用此法. 若所给函数既有四则运算又有复合运算时,则根据函数的结构来确定先用四则求导法 则还是先用复合函数的求导法则 例11设z= ,∫可微,试求1。+ ay 解本题从整体上看是求一个商式的偏导数,所以首先应用商的求导法则,令=x2 y2,得 第二步求f(x2-y2)关于x的偏导数时,用复合函数求导法则(注意到只有一个中间变 量)得 df (f(u))' du d.2x,于是ax y df d 2y2 df da 同理得 az 女+1 孑yf 故有1 x ar y ay yf(r2-y)y