276 高等数学重点难点100讲 第72讲茴面 、曲面方程的一般概念 在平面解析几何中我们把平面曲线看作是动点按一定规律在平面上运动的轨迹,类似 地我们把空间中的曲面看作是动点按照某一规律在空间中运动的轨迹,而动点的运动规律 又可以转化为点的坐标(x,y,z)所适合的规律,这种规律通常表示为坐标所满足的方程 F(x,y,z)=0或z=f(x,y) 如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0(或z=f(x,y))有下面关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 那么,这个方程叫做曲面S的方程,曲面S叫做这个方程的图形 要检查某一点是否在曲面上,只要把该点的坐标代入曲面的方程,看它是否满足此方程 即可,若满足方程则说明该点在曲面上,若不满足方程则说明该点不在曲面上 例如,以定点M(x0,y,z0)为球心,半径为R的球面方程为 (x-x0)2+(y-y)2+(z-x0)2=R 例1求与原点O及点M(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程 它表示怎样的曲面? 解设满足题设条件的点为P(x,y,z),依题意有 lOP +y2+ PM√(x-2)2+(y-3)2+(x-4)2 化简整理得 (x+)2+(y+1)2+(z+4)2116 2 它表示以(-2,-1,3 3 )为球心,√29为半径的球面 由例1可见:曲面S可以用它上面的点的坐标间的三元方程F(x,y,z)=0表示,已知 曲面S,建立这曲面的方程F(x,y,z)=0,是空间解析几何中关于曲面研究的第一个基本问 题;关于曲面研究的第二个基本问题是:已知坐标x,y,z间的一个方程F(x,y,z)=0时( 般来说它表示一张曲面),讨论这方程所表示的曲面S的形状 已知三元一次方程F(x,y,z)=0表示一张平面,称为一次曲面.二次方程表示的曲面 为二次曲面,下面讨论常见的二次曲面 柱面 柱面是一种常见的曲面设有一条定曲线C及定直线l,平行于定直线的动直线L沿曲 线C作平行移动,动直线L所形成的曲面叫做柱面定曲线C称为柱面的准线动直线L称 为柱面的母线,若C是二次曲线,该柱面称为二次柱面 例如,方程x2+y2=R2在xOy面上表示圆心在原点,半径为R的圆,在空间直角坐标 系中表示以该圆为准线,母线平行于z轴的圆柱面(图72-1).类似地,方程y=2x2表示母线 平行于z轴的柱面,它的准线是xOy面上的抛物线y=2x2,该柱面称为抛物柱面(图72-2) 又如,方程3x+2y=6表示母线平行于z轴的柱面,它的准线是xOy面上的直线3x+ 2y=6,所以它是平行于z轴的平面(图72-3)
第72讲曲面 277 3x+2y=6 图72-1 图72-2 图72-3 图72-4 般地,仅含x,y而缺z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴 的柱面其准线是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0(图72-4) 类似地只含x,z而缺y的方程G(x,z)=0和只含y,z而缺x的方程H(y,z)=0分 别表示母线平行于y轴和z轴的柱面 例2求证下列的曲面表示柱面,并作简图: (1)y2=x3;(2)(x2+y2)2=a2(x2-y2). 证(1)若一曲面方程仅含两个变量,则此曲面 必是一个柱面,它的母线平行于所缺的那个变量所对 应的坐标轴.曲面y2=x3仅含两个变量,故它表示以 xOy面即z=0平面上的半立方抛物线y2=x3,z=0 为准线,z轴方向为母线方向的柱面(见图72-5) (2)曲面(x2+y2)2=a2(x2-y2)仅含两个变 量,故它表示以双纽线r2=a2cos26,z=0为准线,z轴 图72-5 图726 方向为母线方向的柱面(见图72-6). 例3求准线是+y2=(平面上的圆x2+y2=25),母线平行于向量v z=0 ={5,3,2}的柱面方程 解设P{x,y,z》是柱面上任一指定的点,由条件知:在准线上存在对应点Q{x 0),使QP∥v,即{x-x,y-y,z-0}∥{5,3,2}.亦即有 由此得x=x-2y=y-B,与x2+y2=25联立,消去x,y,得 22+(y-2=25,或(2x-5)2+(2y-3x) 即是所求的柱面方程 、旋转曲面 平面曲线C绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面,这条定 直线叫做旋转曲面的轴 设C是yOz面上的一条已知曲线,方程为f(y,z)=0,C绕z轴旋转一周所得的旋转 曲面的方程为∫(±√x+y2,x)=0C绕y轴旋转一周,所得的旋转曲面的方程为∫(y,± x2+y2)=0 注意在曲线方程f(y,z)=0中若将y改成±√x+y,即得曲线C绕z轴旋转所
278 高等数学重点难点100讲 成的旋转曲面的方程,若将z改成±√x2+z2,便得到曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的 方程 其余坐标面上的曲线绕轴旋转所形成的旋转曲面的方程可类似得出 例4写出下列旋转曲面的方程 (1)直线z=ky绕z轴旋转一周;(2)抛物线z2=5x绕x轴旋转一周; (3)双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周 解(1)注意:平面曲线绕某轴旋转,则该坐标所对应的变量不变,所以将方程z=ky 中的y改成±√x2+y2,即得曲线绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程z=k(土 √+y),两边平方并令k=1,得x2+y2=a2,这即是(中心轴为z轴的)圆锥曲面方 程(见图72-7) (2)将方程z2=5x中的x改成士√y2+z2,即得曲线绕x轴旋转一周所生成的旋转 曲面的方程为(±√y2+z2)2=5x,即y2+x2=5x,称为(中心轴为x轴的)旋转抛物面 (见图72-8) 图72 图72-8 (3)将xOy面上的双曲线4x2-9y2=36绕x转旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 4x2-9(y2+2)=36,即2-y+2=1,称为旋转双叶双曲面(见图729绕y轴旋转 周所生成的旋转曲面的方程为4(x2+y)-9y2=36即 22-1,称为旋转单 叶双曲面(见图72-10) 图72-9 图72-10 例5求证(y2+z2)(1+x2)2=1是旋转曲面 证(1)以平面曲线/(1+x)2=1或{-1+x为母线,x轴为旋转轴, z=0 可得已给曲面(见图72-11(a))
第72讲曲面 279 图72-11 2.以平面曲线 x(1+x2)2=1或{2=1+x”为母线z轴为旋转轴也可得已给曲 y=0 面(见图72-11(b)) 该曲面形状见图72-11(c) 例6请指出下列曲面的名称并作草图 (1)16x2-9y2-9x2=-25;(2)16x2+9y2-16x2=25;(3)x2-y2=4x; (4)x2+y2+1=3z;(5)2(x-1)2+(y-2)2-(x-3)2=0. 解解题要点:判断方程表示什么图形,可以通过所给方程或将其变形后的方程与曲 面的标准方程比较来确定 (1)将方程写成如下的方程-5 1,与单叶旋转双曲面的标准 方程 “b 1一致,故这是一中心轴为x轴的单叶旋转双曲面 (2)方程写成 5)2+ 5)2=1,与双叶旋转双曲面的标准方程 6==1一致,故这是中心轴为y轴的双叶旋转双曲面 3)配方后方程写成2一一1只含x不含故这是二母线平行轴的 双曲柱面,它是将标准的双曲柱面-=1图形作平移,使其与x轴的交点由(2,0,0)移 至(4,0,0). 4)这是一旋转抛物面是由Oz画上的抛物线x一+}绕轴旋转而成或0 面上的抛物线z=3+绕z轴旋转而成 63程可写成}+=2一G一3这是一椭圆锥面它是将标准的椭圈 2 锥面 z2图形作平移,使锥面顶点为(1,2,3)
280 高等数学重点难点100讲 四、二次曲画 (1)常见二次曲面(见表72-1) 72-1 曲面名称 图形 椭球面云+分+二=1(abx均为正数) 单叶双曲面+-÷-1(a,b均为正数) 双叶双曲面 -+=1(a,均为正数 忠 椭圆抛物面 +=2p(a,b,p均为正数) 双曲抛物面 (又名马鞍面) 一=2pz(a,b,均为正数) 二次锥面 +-x=0(a,b,c均为正数) (2)截痕法—了解三元方程F(x,y,z)=0所表示的曲面形状的基本方法.所谓截痕 法,就是把曲面看成一族曲线的观点,是我们想像曲面形状的一种重要的思想方法.下面举 例详细讨论 例7由方程+点+2=1(a>0,b>0,c>0,且a,b,c两两互不相等)表示的 曲面有怎样的形状? 解首先通过对已给方程F(x,y,z)=0性质的讨论,以了解图形的特性 (1)对称性将方程中的一个变量(x或y或z)两个变量(x,y或y,z或z,x)或三个变 量的符号改变而曲面方程不变,所以曲面关于三个坐标面、三个坐标轴及原点都对称,原点 称为图形的中心 (2)截距在方程中令y=z=0得x轴上的截距OA=a,OA=-a.令z=x=0 得y2=b2,从而得y截距OB=b,OB=-b令x=y=0得z截距OC=c,OC′=-c 点A(a,0,0),A(-a,0,0),B(0,b,0),B'(0,一b,0),C(0,0,c),C(0,0,-c)称为图形的
第72讲曲面 81 端点或顶点 (3)有界性由方程知,≤1,≤1,≤1,即x≤a,y≤b,|≤c,可见图形 团于由平面x=士a,y=±b,z=士c围成的长方形内 其次,考察坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截所得到的截痕曲线的变化规律想 像所讨论曲面的具体形状 (4)曲面与三个坐标面的截痕曲线分别为 a?+ b 2 之=0; 0 这些都是椭圆 (5)用平行于坐标面的平面去截曲面所得的截痕曲线在z=z1平面上的截痕曲线是 这是平面x=x1上的椭圆,其两个半轴分别为√2-x,√-x,中心在x轴上 当一cc时,平面交线是虚轨迹从而z的变化范围是对称区间[-c,C].当z由0逐 渐增大至c即平面z=z1逐渐由z=0升高至z=c时,截痕曲线—椭圆曲线—由大 逐渐缩小以至缩成为一个点同样,当z由0逐渐减少至一c时,截痕曲线也由大逐渐缩小以 至缩为一个点 同理,在y=y1,x=x1上的截痕曲线也有类似的变化规律 (6)综上,作图(见表72-1的第一个图象) 例8由方程 =1(a>0,b>0,c>0且两两不等)所表示的曲面有怎 样的形状? 解(1)对称性,曲面关于三个坐标面,三个坐标轴及原点都对称 (2)截距.令y=z=0得x截距OA=a,OA=-a.令z=x=0,得y截距OB= b,OB=-b,由于一2≠1,所以在x轴上没有截距所以曲面与z轴没有交点 (3)无界性.曲面伸延到无穷远处(见下面的分析) (4)用坐标面x=0截曲面得截痕是椭圆>+若2=1, 它的中心在原点,两半轴分别为a,b z=0. 用平行于xOy面的平面z=z1截曲面所得截痕是中心在z轴上的椭圆 a+=1+它的两个半轴分别是√+,点√+对任意∈ ∞),截痕都是实椭圆且随着|z1|逐渐增大,椭圆也随之增大,所以曲面在xOy面的上、下 半空间内都伸延到无穷远 (5)在坐标面x=0上的截痕是双曲线b2 1.在x=x1上的截痕也是双 曲线
282 高等数学重点难点100讲 一=1 (-∞<x1< (6)在坐标面y=0上的截痕是双曲线{a-a=1, 在y=y1上的截痕也是双曲 线 b2’( (7)综上(1)~(6),作图(见表72-1的第二个图象) 五、二次曲面所围成的空间区域的简图 在有些实际问题中,时常会遇到由几个曲面块所围成的区域,这时需要对这个区域作一 个简单的图形,在一般情况下是很复杂的,如果区域的边界由几块平面和二次曲面所围成, 那就比较简单,下面举例说明如何作区域的简图 例9先用不等式表示球面x2+y2+x2=16和椭圆抛物面x2+y2=6x所围的区域, 然后作它的简图 解这两个曲面都是以z轴为旋转轴的旋转曲面.现求它们的交线方程.由这两个方 程消去x2+y2,得z2+6z-16=0或z=2,z=-8.但由抛物面方程得z≥0,故交线所 在的平面就是 2. (72.1) 又上半球面内部区域适合x2+y2+z2<16,z≥0 故以(72.1)为底的球冠应适合的区域是 16- 2≤z≤√16-x2 另外,z轴上的一点(0,0,1)使x2+y2-6z01<0,故抛 物面含z轴的区域适合x2+y2-6z≤0,因此,以(72.1)为底的 抛物面的内部所应适合的区域是 1 y2)≤z≤2 (72.3) 将(72.2)、(72.3)合并,即得所求的区域它表示以(72.1)为底的 图72-12 球冠及以(72.1)为底的抛物面块合并而成的立体(见图72-12)