180 高等数学重点难点100讲 第55讲定积分定义 定积分定义所包含的内容十分丰富,这一讲只初步探讨运用定积分定义计算定积分,求 极限及证明不等式的基本方法. 、定积分的定义 1.定积分的定义 设函数f(x)在[ab上有界,在[a,b中任意插入若干个分点: 把区间[a,b]分成n个小区间[x,x1],[x1,x2]…,[xn-1,xn],各小区间的长度依次为△x,i 1,2,…,n,在每个小区间上任取一点,∈[x-1,x,],=1,2,…,n,作出乘积∫()△x,i =1,2,…,n,并作出和 f(;) 55.1) 记λ=max{4x1,Ax2,…,Axn},若不论对[a,b]怎样的分法,也不论5,在小区间[x,-1 x上怎样的取法,只要当λ→0时,和总有确定的极限I,则称极限I为函数f(x)在区间 [a,b]上的定积分(简称积分),记作f(x)dx,即 f(x)dx=lim∑f()Ax (55.2) 其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量,a、b分别称为积分 的下、上限[a,b]称为积分区间,∑f()Ax称为积分和 2.可积的充分条件 (1)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[ab]可积; (2)设f(x)在[ab上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积 注意(1)定义指出:函数f(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上可积的必要条件 2)因为定积分r=f(x)dx是积分和式口=∑f()△x的极限,虽然的值会由于 对[a,b的分划不同和6在[x-1,x,上的取法不同而相异但l作为a当入→0时的极限是 惟一的数所以I=f(x)dz既与对ab]的分划无关也与在【x,-1x上的取法无关 且由 I=f(dx=limo=lim 2/(e)Ar 知I与积分区间[a,b]和被积函数∫有关由于函数f与所用自变量(此处为积分变量)的字 母无关,所以I也与积分变量字母无关,即 f(rdt=f( u)au 3.定积分的几何意义 曲线y=f(x)(f(x)≥0),x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积 等于函数f(x)在区间[a]上的定积分,即A=|f(x)d
第55讲定积分定义 181 务必充分注意如果对f(x)与x轴、x=a、x=b所围成的图形规定:在x轴上方图形 的面积为正在x轴下方图形的面积为负则f(x)dx就是这些带符号的面积的代数和 例1利用定积分的几何意义,说明下列等式: 2)sinxdx=0 解(1)y=Ⅵ1-x是上半圆x2+y2=1(y>0)的方程,1一xdx表示上半 圆y=√1一x2在[0,1部分与x轴及y轴所围成的图形的面积,即在第一象限四分之一圆 的面积,该面积 (2)等式左端 sinad表示正弦曲线y=sinx与x轴在x=-丌及x=丌之间所围 成图形面积的代数和在y轴左、右两侧图形的大小一样,但左边的图形在x轴下方,右边的 图形在x轴上方它们相差一个负号记右边正弓形的面积为A,则 sindo=(-A)+A 0 4.定积分的物理意义 物体以变速U=U(t)((t)≥0)作直线运动从时刻t=T到时刻t=T2,这物体经过 的路程S等于函数u(t)在区间[T1,T2]上的定积分,即 U(tdt 例2若一汽车以速度v(t)=27-32(m/s)沿直线作减速运动,则从时刻t=0到汽 车停下所行驶的距离为多少m? 解当U(t)=27-3t2=0时,汽车停下,所以t=3s.则从t=0到t=3汽车所行驶 的距离为S=|v()d=|(27-32)d=54(m)(参考下面例3) 、利用定义计算定积分 例3用定积分的定义计算(x2+1)dx 解因为f(x)=x2+1在[a,b]c(-∞,+∞)上连续,故可积,并且积分值与对 [a,b]的分法与点与在小区间[x-1,x,](=1,2,…,n)上的取法无关,可将[ab]分成n个 等长区间:a+ (-1),a b ,且取5 n i,=1,2,…,n则积分和 d=2(2+1)△x=∑[(a+ a )2+ (a2+1)+2 十 n p-ga2+1)n+2)∑;+2)S °a[(a2+1)n+2 2)+(-a)2,n(n+1)(2n+1) a(b-a)n(n+1) n 6 =(b-a)[(a2+1)+a(b-a)(1+1) (b-a) 6 (1+)(2++)]
182 高等数学重点难点100讲 故 x2+1)dx=lim∑f(G)△x=imo №0i=1 =lim(b-a)[(a2+1)+a(b-a)(1+1)+ (b-a)2 (1+-)(2+)] (b-a)【a2+1+a(b-a)+(-a)]=(b-a)+ba 例4利用定义计算edx 解因f(x)=e在[0,1]上连续,故f(x)在[0,1]上可积,并且积分值与对[0,1]的 分法以及点在各小区间上的取法都无关,因此可将[0,1]分成n个等长的小区间: ],=1,2,…,n,且 1 取=∈[n1,n],=1,…,m此时k=,积分和 (e-1) lm(c-1)=lim2=1e-1~t(→∞), ∴limn(e-1)=1,又因lime=1,所以 edx=m,= lim en(e-1)_e-1 n→∞n(en-1) 通过以上两例看出,利用定义计算定积分,不是一件容易的事情.这里举例的目的是进 步熟悉定积分的定义,了解用定义计算定积分的过程而已.第57讲至第62讲将陆续介绍 定积分的各种计算方法 三、利用定积分的定义求极限 设函数f(x)在闭区间[o,上连续,于是定积分f(x)dx存在,将区间[o,1分成n等 分分点依次是0f( f(r)d 同理若在小区间[-1,]上选取左端点作和∑f(n21)·则 lmC(元3)·=∫(x)dx 在小区间[ ]上选取中点么作和,则im73 f(r)dx. 据上述结论,可以将某些求极限问题转化为求定积分 1 例5求lim √4n2=12√4n2-2 … 4
第55讲定积分定义 183 解因一 … 故上式 4n 可看成函数f(x)= √一在区间[01]的积分和若把[0,1分成n个等长区间 ]且取 n”=1,2,…,n,Ax ;=,即λ=,则 i√4n2- √4n2-22 … 1m 1 dx(利用凑微分积分法) 4-( arcsin 例6求im1(sinx+sinz+…+sinx) (sin - …+sinr) sIn sin一· 故上式可以看成函数f(x)=sin兀x在[0,1]区间上的积分和,于是 ln1(in0+s2+…+sm)= lim sinr 2,-=∫mdx=是 例7求Imn+1sinn+snn++snx) 解 n+( sin i2+…+sir)=1 sin丌(-) (),sinπ 1 而∑sinx()·1可看作f(x)=snz在[O,1上的积分和于是 2 lim sinrrrdr n+1=1,所以 n 皿n+1(inn+an+…+sinx)=mn+1 sinr(-) sIn SIn 例8求山mn+1+—1+…+sin(1998年数学一考研题) n 2 解显n+1+n+1+…+ sIn sin r SIn Sin 十 si+…·+ sInT n+1 1 n+sin2x+…+sin) 不等式两端的表达式正好是例6例7极限中的表达式,故
184 高等数学重点难点100讲 lim +1 (sin-+sin“+…+sinr im(sinx+sin+…+sinr) 由两边夹准则可知,所求极限存在且 2丌 SIn SIn lim( sin元 2 如n+1 n 例9求imy 解原式=W小n人时m3= u+hn+…+ln (用分部积分法和广义积分可求出lndx=-1) 注意由定积分定义知:定积分是代数和的推广,即它表示每项为无穷小的无限项的代 数和因此,只有那些求无限项无穷小的和的极限或可化为这种和的极限,才有可能用定积 分求解 四、利用定积分的定义证明不等式 例10设f(x)在[o,1]上连续,且∫(x)>0试证:!nxdx≥(nf(x)d 证欲证之式即为f(x)dx≥em),由定积分定义知 f()+f()+…+f( ∫f(a)dx=lmn2/()=: (55.3) fCr)dr lm∑lnf()·4 n/(1)+hn/(2)+…+hn/(n) lime" G (55.3)式是n个正数的算术平均值,而(55.4)式是这些正数的几何平均值 f()+f(2)+…+f(n) 由于f()f()…f(n)≤ (n个正数的几何平均值 不超过这些数的算术平均值),所以对上述不等式两边取极限得 p≤rxdz,即/x)d≥Jn(x)dx