第36讲罗比塔法则 113 第36讲罗比塔法则 罗比塔法则是求不定式极限的一个比较有效的方法,凡是符合罗比塔法则的。·型 极限均可直接使用法则. 例1求lim2+x2+… 型 解原式=1m1+2x+…+nx =1+2+…+n=2n(n+1) 例2求yx-10型(Om,n为正整数 解原式=lim lim -- -x n= 例3求四2m(型)(m7为正整数 解原式=lim ncosnT ro cosmi 例4求 lim sin sin(x Inx 0 型 解原式=lim cos sIn(C )·cos(x-1) 例5Iim n cost 解这是。型不定式,为简便起见,使用法则前将具有极限的因子e提出来 cosC 原式=lime"n,lim sInT COST ·11m 1·( )· lim sinx r. 增k=-t tanr 例6求lim 0 型 用法则 恒等变形 解原式 Im lim COsT 0cos2x·(1-cosx) 化简imn1+cosx商的极图的法则2 N0 COSt 1上例说明,时时留心化简,则可以方便计算.同时,在每次使用罗比塔法则前都要判断所 求极限是否是0或,如上例最后一步,四已不再是0型,也不是型,所以不 1 能再用法则了 例7求lim
114 高等数学重点难点100讲 2 解这是。型若直接用罗比塔法则则有原式=N01002 ex=lim2,分母中 x的幂次反而增加若令=y,则 y 原式=。ey∞ (型)=lim 50 0 +∞ey y+∞e 对于0·∞型,则要先化成。或。型,再用法则 例8求 lim Inx. In(1-x) 解这是一个“,0″型.原式=1mmx.l(1=x). 1 其中Imm(型}=lm mmx2(型=1m 1,∴原式=0·(-1)=0. 例9求imx"lnx(n>0) 解这是“0·∞”型,先化成型然后用法则 原式=lim nt lim lim (-1.r 1 n- 注意若将原极限化为。型,则原式=lim TIn 显见,化成¤型后一阶导数比原式更复杂了重要的是照此继续下去将永远求不出结 果来 对于“∞-∞”型,通常是先通分,再化成。型或⊙型 例10求li 1(2-cot2x)(∞-∞型) 解imn2x-x2 2( (tan.x +r)(tanr itanI tanx 化简,分离 lim tanr+x tanT m r-o tanr 2· lim tanc 2· lim sec2.z tanT 注意检查表达式中是否有非零极限乘积因子如果有则应将极限分成两个极限乘积, 其中一个极限为确定值,再考虑余下的不定式 对于1、0°、∞9型极限,则要先取对数变成0·∞型然后再化成或型
第36讲罗比塔法则 115 例11求lim(2 arc tanT)2 解当x 时 ,arc tan. x2=mmnx→1,可见原式是I型 原式=em),当x→+∞时,这是0·∞型再将它写成一的形 式,显然,当x→+∞时,它是。型,这时利用罗比塔法则,可得 丌1+ arctan arctan li im (1+r'acrtanx 1+1arc=-2 li ∴原式=e 例12求lmvn 解这是一个∞°型不定式把它化成一型.原式= lim e n=em。”, 注意Iim虽然是型,但不能直接使用罗比塔法则因为n是正整数,不是连续变 量,不能求导应先将n换成连续自变量x,再使用法则,得 1 =0,从而,Jmmn=0,原式=e=1,即limn=1. 例13求hn1n(1十x+x2)+1n(1-x+x2) sect cosC 解原式=lm(+x)2-x =lim In(1 +x2+r) cosT ( cosx cosT lim cosx In(1+r+r2]=limcosx lim I+I' SIn T 注意倒数第二步使用了等价无穷小替换:inx~x,ln(1+x)~x(x→0),0型极 限实质上是求分子、分母两个无穷小的商的极限,而罗比塔法则的本质是使分子、分母的无 穷小的阶数都同时降低一阶,如x5是5阶无穷小,它的导数5x是4阶无穷小如果分子、分 母的无穷小阶数比较高,那就要多次施行罗比塔法则,这样就不方便了因此往往尽量先用 等价无穷小代替后,当无法判断无穷小的阶数时才用罗比塔法则 cosx+a Sint sinT 例14求lim (e'-en)cosT 型,u=x-2 cos u+i+usin u+isin/u+ 解原式 (e"+i-ei)'cos(u+
11 16 高等数学重点难点100讲 化1me(e (一sinu+ ucos)cosu sInu 分离非零极限因子 lim coSu lim sinu t ucos 1)2si Inu sinu,"-lu SInu t ucosu 罗比塔法则 lim=cosu t cosu- usina=_11 sinu 03n2 3u 注意为了利用x→0时的等价无穷小,当所求极限是x→a时可作变换u=x a(如例14),则把问题变成u→0形式,当x→∞时可用变换a 请看下例 例15求limx3 11.2 -SI sinu-÷sin2 解原式 = lim sinu- sinucosu sinu lin - lim coSu 22 例16设f(x)有连续的二阶导数,且 alim f(x)=0,(0)=4,求:m1×fm/ 解所求极限是1型.因为f(x),(x),f(x)都是连续函数,且imf(x)=0,所以 limf(x)=0,f(0)=0;f(0)=lin f(x)-f(0) 0 0 型)=lim 型)=li f(x)在x=0处取极小值f(0)=0,即有δ>0,当x∈(-8,0)∪(0,0)时,f(x)≠0. 原式=lim(1+ 例17试问下面的解法是否正确?若不正确,请说明错在何处然后给出正确解法 (1)linx+sinx()=im(1+csx),因为 limos x不存在,所以原极限不存在 (2)lim 2ea+1 型)=lm2a x+e“+1∞ 解(1)解法不正确因为lim”(x)不存在,不满足罗比塔法则的条件并不能肯定 lir F'Cr F(x也不存在正确的解法是:lmx+sinx=lim(1+1.inx)=1 (2)解法也不正确,因为只有a>0时,原极限式才是一型不定式,才能使用罗比塔法 则.当a=0时,原式=lim 1+1 =2;当a0 y-1是,a-0 <0
第36讲罗比塔法则 117 总结上述例1至例17,使用罗比塔法则求极限应注意以下几点: (1)只有对于型或。型不定式,才能直接使用罗比塔法则.对linf(x)=1im ,应注意是分子分母分别求导数而不是用商的导数法则对商式(2求导数对于0 型和∞-∞型,应先化为0型或型才可使用罗比塔法则将0·型和O-型 是化为型还是。型应根据具体题目而定,一般地,应以一阶导数之比比原来的不定式简 单为原则.而对0°型、∞°型和1型,则应先取对数,然后化为型或型,再使用罗比塔法 意0型或型条件的同时,还应注意其他条件,如,已知f(a)=1,f(a)= 0,求1m(a+h),这虽然是0型,但不能用罗比塔法则因为此法则要求函数在x的某去 心邻域内可导,并不需要在x处可导,题中只知f(x)在点x=a处可导,在点a邻域内是否 可导并不知道应根据导数定义求极限 lim f(a+h-f(a)=f(a)=1 (2)每次用罗比塔法则前都要裣验是否满足此法则的条件,只要满足此法则的条件,就 可连续使用此法则,直到求出极限值或得出不符合此法则条件的情形为止.若水远是不定 式就不能使用罗比塔法则,应改用其他方法; (3)使用罗比塔法则求极限时,应及时化简(通过代数、三角恒等变形约去公因子,把极 限不为零的因子分离出来,利用等价无穷小代替、变量代换等); f'(x) (4)罗比塔法则的条件是充分的,不是必要的因此当mr(x)存在(不含∞的情 形)时并不能肯定原极限lmf(x也不存在,只是这时不能使用罗比塔法则而需要使用 F(r) 别的方法进行讨论; (5)罗比塔法则是用于求连续自变量的函数的不定式的极限,对于整标函数(数列)的 不定式,例如lm 0型或。型),不能直接使用罗比塔法则,但可以把n换成连续自变 量x,把f(n)和F(n)写成相应的函数f(x)和F(x),然后使用罗比塔法则若imF(x)存 在=A(或∞),则1mf(n)=A(或∞)