150 高等数学重点难点100讲 第48讲直接积分法 所谓直接积分法,就是把被积表达式化成积分表中的形状然后按积分性质及积分表中 的公式直接写出结果用直接积分法求不定积分的关键是对被积表达式进行适当的变形 /rdx 解把被积函数根式形式化为幂的形式 原式=(1-x-2)xdx=( 知dx=4x+4x-}+C 例2求 dx 解通过分子加项减项的办法. 原式= 1+1 dx=(x2-1⊥1 x2+1 1+2)dx dx 1 1 arctan c 例3 sin“xcos2x 解通过三角公式sin2x+cos2x=1,把被积函数分成两项的代数和 原式=「sin2x+ CosEr=!cos3dx+ dx tanr cotx +C SIn" tcos"T SIn"T 例4求 sin-cos 解原式 1-dx= 4 csc2rdr=-4cotx+ C. (sinz)2 例5求en)k 解原式=|sec2dx-|tanx· secada=tanx-secx+C. 例6求(105+x+e·a2)dx 解原式=[1o10+(ea)dx=1010dx+(ea)dx n10·10+1+na+C 例7设F(x)为f(x)的一个原函数当x≥0时,有f(x)F(x)=sin22,且F(0) 1,F(x)≥0.试求f(x) 解因为F(x)=f(x),所以F(x)F(x)=f(x)F(x)=sin2x 两边取积分得 F(x)F(r)dx=sin2dx
第48讲直接积分法 151 即 rP()ydx=】j cost)dI, 于是P(x)=(x-simx)+C,或P(x)=x-sinx+CC=2C1) 由F(0)=1,F2(0)=C=1,得C=1 又由F(x)≥0,得F(x)=√x-sinx+1,于是, f(x)=F"(x)= COST 2√x-sinx+1 例8已知f(x)的图形过点(0,3),尸(x)的图形是过点(1,0)且不平行于坐标轴的直 线,f(x)的极值为2,求∫(x) 解依题意设f(x)=k(x-1),(k≠0).两边积分得 ∫f(x=k(x-1)dx即(x)=k(-x)+C ∵f(x)的图形过点(0,3),f(0)=C=3,f(x)=k(-x)+3 易见,x=1是可导函数f(x)的惟一驻点,又f(x)有极值,所以x=1也是f(x)的惟 极值点依题意知f(1)=2,即-+3=2,所以k=2.于是,(x)=2(-x)-3 即f(x)=x2-2x+3. 注意导数公式表与积分公式表是进行微积分计算的依据,是高等数学最基本最核心 的内容但有些初学者往往在运用公式时出现错误如把公式(a)=a1ma及ladr=mn +C错误地写成adx=ana+C及(a") Ina 把f(x)=sinx的积分公式错写成 sinner=cosx十C等等.这些都是由于粗心大意、缺乏训练所致,望此类错误不再发生