第46讲导数应用题 145 第46讲导数应用题 例1(单选题)设∫(x)在(-∞,∞)内有定义,若当x∈(-δ,)时,恒有|f(x)≤ x2,则x=0必是f(x)的() (A)间断点;(B)连续而不可导的点;(C)可导的点,且f(0)=0;(D)可导的点,且f(0)≠0 解解答问题的依据是函数在一点处的连续性定义与导数定义,由已给条件可知, f(0)=0,从而|f(x)|≤x2可以改写成 f(x)-f(o\∠|x,令x→0,由两边夹法则得 0 )=0,故选C 例2(单选题)设f(x)可导,F(x)=f(x)(1+|sinx|),若使F(x)在x=0处可导, 则必有() (A)f(0)=0;(B)f(0)=0;(C)f(0)+f(0)=0;(D)f(0)-f(0)=0 解F(o)=linF(x)-F(0) x-0 lim f(r)(1+ Isin D)-f(o =i[xx1+/),1x]=/ (o)+f(o). lim Isin.x . lir sin. sInr ∴F+(0)=f(0)+f(0),F-(0)=f(0)-f(0). 要使F(x)在x=0处可导即要使F+(0)=F(0),则必有f(0)=0,故选A 例3(单选题)设f(x)是周期为4的可导的周期函数,又1mf()=(1-x 1,则曲线y=f(x)在点(5,f(5)处的切线的斜率为() (B)0 (C)-1 (D)-2 解1imf(1)=f(1-x) lim f(1+t)-f(1) =f(1)=-1,故 re0 f(1)=-2,又∫(x)是周期为4的可导的周期函数,所以f(5)=f(1)=-2,故选D. 例4(单选题)设y=f(x)是方程y-2y+4y=0的一个解.若f(x)>0,且 f(xo)=0,则f(x)在点x0() (A)取到极大值;(B)取到极小值;(C)某个邻域内单调增;(D)某个邻域内单调减 解由已给条件得,(x)-2f(x)+4f(x0)=0,即有f(x)=-4f(x)x2时,f(x1) >f(x2),则() (A)对任意x,(x)>0;(B)对任意x,f(-x)≤0; (C)函数f(-x)递增;(D)函数一f(-x)递增. 解对任意指定的xf(x)=mf(x+4x)-f(x)20(因f(x+△x)-f(x) 0),所以A是不对的同理得,(-x)= lim f(-x+x)-f(-x △·0 Ar 0,故B也是错的; 因∫(x)可导,所以∫(-x)可导,又因f(x)≥0,故[f(-x)]y=f(-x)·(-1) f(-x)≤0,所以f(-x)递减,故C也是错的;
146 高等数学重点难点100讲 由于[-f(-x)]=尸(-x)≥0,所以一f(-x)递增,故选D 例6已知∫(x)可导,对一切实数a,b,f(a+b)=e"f(b)+ef(a),且f(0)=e.求 证:f(x)=f(x)+e. 证利用导数定义及已给条件可直接计算出f(x),注意到f(x)=0,有 P(x)= lim f(z+ 4x)-f(2= lim e ' f (4x)+ef(x)-=f(z) f(4x)-f(0) me 十f(x) 4r+0 △x =e·f(0)+f(x)=f(x)+ex+1 例7设f(x)= g(x)=∈-,x≠0其中g(x)有二阶连续导数,且g(O)=1, 0. g(0)=-1.讨论f(x)在(一∞,+∞)上的连续性. 解(1)考察f(x)在R上的连续性.当x≠0时,f(x)连续,当x=0时, imnf(x)=im(x)一每)=lm(g(x)+e-)=-1+1=0=f(0), +0 ∴在x=0处,f(x)连续故f(x)在x∈R内连续 (2)求出f(x)的表达式.当x≠0时, f(r) [g(x)+e]r-lg(x)-e-Ig'(x)-g()+(r+ 1)e- 当x=0时,f(0)=lim f(x)-f(0) li g(r) lim g(x)+ 0 =lim e"(r-e g"(0)-1 =2(这里利用了g”(x)的连续性) (x)-g(x)+(x+1)e ≠0 f(r) 3)考察导函数f(x)的连续性,当x≠0时,f(x)连续 当x=0时,由于 limf(x)=lir (x)-g(x)+(x+1)e g(x)+xg"(x)-g'(x)+e-x-(x+1)e (x) (0)-1 =f(0) 0 所以,f(x)在x=0处连续,于是,f(x)在(一∞,+∞)内连续 例8试证:曲线y= sinIT的拐点必在曲线y2(4+x2)=4x2上 证 cosr+ sinx, y=cos- sinr t cosr 2cosr-rsint 拐点横坐标应满足y=0,即2cosx- TsInT=0.显见x≠0,从而x=2cotx,纵坐标 y= asin=2cosx.于是,问题归结为验证x=2cotx,y=2cosx满足y2(4+x2)=4x2 为此,将x=2cotx,y=2cosx代入,左边=4cos2x:(4+4cot2x)=4cos2x.4csex= 4·4cot2x=右边.因此,拐点必在曲线y2(4+x2)=4x2上 例9(1)现在国际上银行的利率是按照连续复利计算的,即不是按月或年等结算,而 是立即存入,立即产生利息,立即结算的方式进行结算.若年利率为r,本金为A元,试建立
第46讲导数应用题 147 按连续复利计算t年后的本利之和A的数学模型 2)利用(1)中建立的数学模型,求解下面的问题(1998年全国攻读硕士学位研究生人 学考试试题): 设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定t=0)就售出,总收人为R0(元).如果客 藏起来待来日按陈酒价格出售年末总收人为R=Re. 假定银行的年利率为r,并以连续复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最 大.并求r=0.06时的t的值 解(1)复利计息就是将每个存期的利息在存期之末加入本金再计算下个存期的利 息 若以年为一期计算利息,则一年末的本利之和为 A1=A0+A0r=A0(1+r) 两年末的本利之和为 A2=A0(1+r)+A(1+r)r=A(1+r)2, 依此类推,…年末的本利总和为 A4=A0(1+r)4-1+A(1+r)4-1·r=A0(1+r), 如果把一年均分为n期计算利息,这时每期利率可以认为是,用上述同样的方法可以 推得,第t年末的本利总和为 A,=A0(1+-) 如果计息的“期”的时间间隔无限缩短,从而计息次数n→∞,则t年的本利和为 A=A(t)=lim.(1 +-)"=Ao lim(1+-) Aoe (*)式就是按连续复利计算本利之和的数学模型 (2)根据连续复利公式,这批酒在套藏t年末售出总收人R的现值为A(t)=Re-,而R =Re,所以A()=Re 令=Rem-" r)=0,得惟一驻点 又=Re丌-「(1 d2A ,则有 d2A dt2 Re(-12.5r3)<0 于是,=25是极大值点也是最大值点,故窖藏t=1(年)售出,总收入的现值最大 当r=0.06时 100 9≈11(年 自然界中许多事物的发展如细胞繁殖、人口增长、树木生长、物体冷却等都遵循着(“) 式这一数学模型.如已知人口年增率分别为r1=0.5%,r2=0.8%,则由(*)式可算出 1994年12亿人到2050年人口总数分别为 A1=12e.00×56≈15.88(亿),A2=12e00×56≈18.78(亿)