第27讲相关变化率 第27讲相关变化率 如果有一个固定的条件联系着几个变量这些变量又都随着时间的改变而改变,那么它 们的变化率之间必然也有一定的关系,有这种连带关系的变化率叫做相关变化率,其中 个变化率往往能用其他的变化率算出来 例1溶液自深为18m、上端圆的直径为12cm的正圆锥形 漏斗中,漏入一直径为10cm的圆柱形筒中,开始时漏斗中盛满 了溶液,已知当溶液在漏斗中深为12cm时,其液面下落的速率 为1cm/min,问此时圆柱形筒中的液面上升的速率是多少? 解设圆柱形筒中液面的高度为H,同一时刻漏斗中液面 18 的高度为h,半径为r,它们都是时间t的函数,H=H(t),h h(),y=r(),本题所求的是圆柱形筒中液面上升的速率 当圆柱形筒中液面高度为H时,圆柱形筒中溶液的体积为V 25πH(cm)3,由于圆柱形筒中的溶液的体积应等于漏斗中所漏 出溶液的体积,即等于此时圆锥形漏斗中所空出的部分的体积, 10 即 V=1x.62·18-1xh 618 但 h 图" 代入上式得 V=216x-h3 25xH=216丌 >h3,H=216 h3, 2525×27 dH dh 两边关于t求导,得 d 25×27 把已知量h=12d dt 1代入到动的表达式中,得 dh 25×2 -1)=12×12 25×925 oe( cm/min i 例2梯长10m,上端靠墙,下端置地.当梯子下端位于离墙6m处以速度2mmin离 开墙时,问上端沿墙下降的速度是多少? 解这也是一个相关变化率问题,如图27-2,A、B两点的位 B(0,y 置分别用坐标(xA,0)、(0,ya)表示·则可以看出,当梯子下滑 时,xA,yB均是时间t的函数:xA=xn1(t),ys=ys(t)·又因为A B两点间的距离在任何时刻始终不变,即等于梯长,故有 x3()+y()=102,即y=√100-xa(t) m上式两端对t求导,即可得梯子下滑时两端A、B的速度之间的关 系.解此题的关键也在于此 图27-2
88 高等数学重点难点100讲 (t) xA(D)xa(t) A(E) 故所求上端B在给定时刻沿墙下降的速度为 VB= yB(t) 6×2 o(m/min √100-62 其中负号仅表示B端下降方向与所选y轴的正向相反.故上端在给定时刻沿墙下降的速度 是 3 m /min 例3甲船以每小时24km的速度向北行驶,同时正东10km处有乙船以每小时20km 的速度向东行驶,问从这一时刻起经过1小时后,两船间的距离 按怎样的速度变化? 解设甲船最初在原点O处,乙船在C处,OC=10km,在甲 t小时后,甲在A点,乙在B点设AB=S,OA=x,CB=y,则 S=√x2+(y+10)2.S=S(),x=x(t),y=y(t)都是t的 函数 上式两边关于t求导数,得 ds i di +(y+10) dy d x2+(y+10)2 上式表达了三个变化dxdz间的关系,已知=2,=20:=1时,x d d 24y2,代人上式得出-186=305km),这说明t=1时两船间的距离以每小时 30.5km的速度在增加 例4一长方形两边之长分别以x与y表示,若x边以0.01m/s的速度减少,y边以 0.02m/s的速度增加,求在x=20m,y=15m时长方形面积的变化速度及对角线的变化速 度 解依题意,长方形的面积为S=xy,对角线L=√x2+y.且x=-0.01m/s 0.02m/s.于是 0.01×15+20×0.02=0.25m2/s 即长方形的面积以0.25m2/s的速度增加 L xx+yy_-20×0.01+15×0.020.1 √x2+y2 √202+152 25=0.004m/s, 即长方形的对角线以0.004m/s的速度增加