28 高等数学重点难点100讲 第9讲极限的几个重要定理(3) 定理1limf(x)=A台f(x-0)=f(xo+0)=A. limf(x)=Af lim f(x)= lim f(r)=A 讨论函数的极限时,在什么情况下要考虑左、右极限?一般地说,讨论函数f(x)在x点 的极限都应先看一看单侧极限的情况如果当x→x时f(x)在x的两侧变化趋势一致, 则不必分开研究;如果两侧变化趋势可能有差别就应分别研究左、右极限 1.求分段函数在分段点处的极限时,必须研究左、右极限 例1求函数(x)=,当x→时的左、右极限并说明x→0时极限是否存在 解f(x)=lz 0 是一个分段函数,x=0是f(x)的分段点 lim f(r)=lim -1=f(0-0),limf(x)=lim=1=f(0+0), 所以limf(x)不存在 例2设f(x) sin r 如果limf(x)存在,那么a为何值 a., ≤π 解在求limf(x)时,注意极限过程是x→π,即x只能从点x0=π的左侧无限地接 近,在整个趋近过程中,总有:x兀按函数f(x)的对应法则知:f(x)=sin(x+丌)故 lim /(z)=lim sin(=+2)=sin 2=-1 由imf(x)存在,所以f(r-0)=f(x+0),即ax=-1,所以a=-1 例3设∫(x >0; 2,x≤1. x≤0 求mf(x)g(x) 解f( 1,t>0; 得f() x≤1 1,u≤0. 由函数的“无关特性”知:f(x)= 1, >0 ≤0. 于是 e(x+1) ∴limf(x)g(x)=lime l,imf(x)g(x)=im[-e‘(x+1)]=-1. limf(r)g
第9讲极限的几个重要定理(3) 29 2.三角函数、反三角函數在特殊点的左右极限 有些三角函数,反三角函数在特殊点的左、右极限不一样,所以在讨论这些函数在特殊 点的极限时,也应考虑左、右极限 li m tanT ∞, lim tanx=+∞, lim cotx=+∞, lim cotr lim arctan2’ lim arctan=2’ lim arccot=0, lim arccot=兀 例4求 lim narctannx 1时,lima=+∞,lima'=0 当0-1,即x+1>0),x+1→0,x+1++∞, x+1→2,即f(-1+0)=m, arctan r+1=2 由于f(-1-0)≠f(-1+0),由定理1知, lim arctan-1 不存在 例6设(1)f(x)=lim 2)g(r)=lim In(e"+x") (x>0) 求f(x)g(x) 解(1)注意到 0<a<1 即有 li Im C 从而当1<1时(x)=lm1,x ·x二了; +0 当1-1时,/(x)-mH1+F x=0;
30 高等数学重点难点100讲 2 当||>1时(x)=lmn1+ lim +1 x,|x|1 (2)首先把g(x)恒等变形为可以利用上述特殊极限的形式 当0e时注意到im=0,得 In x"1+ nInr +In1+ e g (x)= lim lim 综上,得 g()-ln30x5 例7求 limin(1+e),如果极限不存在,说明理由 解因为f(x)=n(1+e)是含的函数,而lim1= ∞,lim=+∞,于是, eF=0; lim er=+∞,所以要考虑左右极限 由乘积的极限法则得 f(0-0)=lim xln(1 +er)= lim x. lim In(1 +e)=0x0=0. f(0+0)= lim xIn(1+e),这是一个“0·∞”型的不定式,进行如下变形,再用法则 f(0+0)=lim rlne i+1= lim r Ine+InI+I lim 1+rln 1+ ∵f(0-0)≠∫(0+0),∴ limin(1+e)不存在
