36 高等数学重点难点100讲 第11讲利用两个重要极限求极限 两个重要极限的一般形式是 lim sinr =1;lim1+ 后者有更一般的形式m(1+=或m4+y)=c 利用它们求极限时,关键的是对所给函数或数列做适当的变形,使之有相应的形式.有 时也可以通过变量替换使问题简化·下面通过例题来说明如何应用两个重要极限求极限 例1求1 -0 sin Bx,a,}为常数,≠0,B≠0 解是否可以用im9x=1呢?我们首先应该注意到它的特点是:“0”型,符号 sin”右边的变量和分母的变量相同,且该变量趋于0.不是“”型或不能化为 0”型的极 限不能使用该公式·因此,为了使用该公式,我们把原式变形,再用公式: SInaT sInaT lm 原式=lim aT a t+o aI co sinkI β lim singr p Br 例2求imsx=s3x 0 解对该“。”型利用三角公式cosa-cosB 2sin+ p 2sin"2进行恒等变形, 得:原式=lim r lini sinr. 4 sin2I Zsinrsin2 1×4×1=4. 例3求 limousin1 0 sIn 解首先变成 0 ”型.原式=lim 作变量代换,设t=1,则x→∞对应于t→0,原式=1 lim sint=1 例4求lm cost r了sinx一 解作变量代换:t= 3∵时→0,同时利用已知极限lm1=coxy, 1-2(+3 1-2cos cost 2sin sint 原式=lim →0 Int sint lin cost+√3sint imn(1=cos+√3 sint sint √3+lin/1-cost.t Int 作适当的变量代换,同样可求得:
第11讲利用两个重要极限求极限 37 arcsinE lim工 lm arctan 例5求lim/2+1 解这是一个“1·”型是否可直接使用重要极限m1+=e?我们首先应注意 到它具有以下特点: (1)“1”型.函数是幂指函数,底数趋于1,指数趋于∞; (2)底数由两项组成第一项是1,第二项是一个无穷小量; (3)指数与底数的第二项互为倒数 不是“1”型或不能化为“1”型的极限不能使用该极限式 根据这些特点,我们对原式进行变形,得 lim li 1+2 lit 例6回m(1+1+2 解原式=Iim1+2 |1+n+1“/沁 例7求m(sn+co 解原式= lim sin+c121≠im(1+sin2x学 lim 1+sin 例8lim (a>0) 解作变量代换:a2-1=u,则x=log2(1+a). 原式=lim w+1) lna·li w-o logc 1ln(1+a) Ina 1na·11m In(1+u Ine 特别地,有 li 例9求lim{(n+1)[ln(n+1)-lnn]} 解这是一个“∞·0”型,不是“1”型的只有化成1型才可考虑使用该极限式 原式=lim(n+1)hnn+ imin/1+2)” 1 limInG+1+ In( 1+n/JIne+In1=1. 对于有些题目,需要同时使用上述两个重要极限 例10求lm(cos√x)
38 高等数学重点难点100讲 cos 1+(cos √x-1]h, 当x→0+时,05-1-0,[1+(c0x-1)]h→,=1 ∵Iimy-cosx 原式=e 例11求l m nsin (T Inz 解令x-1=t,于是x=t+1, SinsIn (T sInsing Sinsint sint Inx n(1+t) sint t In(1+t sinsint sint sint ln(1+ 当x→1时 ,t→0,int→0, sinsing sint →1,ln(1+t) e sint 原式=1·1·me= 例12求ima1x+b1 +(a2x+b2 解原式=im 其中,c1 6. a 而 lim 1 0 a2; 由于 lim a1=a2; > 0 ∴原式={e-,a1=a2;
