第22讲复合函数求导法 71 第22讲复合函数求导法 设函数y=f(a),=gx)都有导数则复合函数y=f[9(x)]也有导数,且其导数为 即函数y对自变量x的导数y等于函数y对中间变量a的导数y乘以中间变量u对自变 量x的导数u2,同样,对于有三层复合关系的函数 f{q[ψx)]} 引人第一中间变量u,第二中间变量则 f(u),u= p(u),v=A 变量间的锁链关系结构可表示为y u 导数公式为y u·l,·v 求复合函数的导数的关键是把函数正确熟练地分解成几个简单函数 例1设y=sin√x,求y 解引入中间变量u,把函数y从外向里分解成两个基本初等函数: sini.u 我们已经知道:(sinu) cOSu, (r 2-2,由复合函数求导法则得 yx=y"·u!=(sina)。·( 2)'=cosu. 1-!= cos vI 例2设y=a 求y 解写出函数y的复合过程:y=a",=sin,U=t2,=1-x,函数y与第一、第 二、第三中间变量u,U,w及自变量x之间的关系结构可表示为 y①u②U③w④x 依法则求导得: y=y·uUw!=(a")·(sinu)·(vu2)·(1-x)r asin y- cos√1-x·lna aIna·cosU·一 例3设y=sm21,求y 解函数y可分解为y=n2,=si0,=-},w=x2+1,又 c0,÷、y2,=2x, 由复合函数的求导法则,得 y·a·uu·wu!=2u·cosU· ·2x ·cos 1 x2+1 2(x2+1)√x+i·2x 2 SIn (x2+1)√x2+1 对复合函数的分解熟练后,就不必写出中间变量,心里记住就行了,如本题可采用下列
高等数学重点难点100讲 方式计算 [sin V +1/=2in sIn COS √a2+1 √z+i(x2+1) 2 /x2+1 2(x2+1)-1.(x2+1) sin (x2+1)√x2+1 x2+1 如果写成y=2sin-1 cos (x2+1)-号1,就错了,错误在于等号右端 +1 少乘了(x2+1) 例4设y=[(x+0),=9(z+0y]分别以 解函数y是y=",a=%(U),=x+a复合而成的,=g(U)是抽象函数 y=y·a"!=nl"·g(u)·1=ng(x+a)[g(x+a)]”-1 函数z是由z=g(x),a=U及U=x+a复合而成的,z=g(u)是抽象函数 zx=z·u·U2′=y(an)·no"-1·1=n(x+a)g[(x+a)] 计算函数的导数时,有时需要同时运用四则运算法则和复合函数的求导法则 例5设y=x√x+√1-x,求y 解由积的求导法则得 x+√ x+√1 求(√x+√1—x)时,应先用复合函数求导法则接着求(x+√-x)时,应先 用和的求导法则求(√1-x2)时再用复合函数求导法则于是得 y=√x+√1-x+x 1 十 2) 2√x+√1 =√x+√1-x+ 1+ 2√1 (1-x2) 2√x+1- ′=√x+√1-x2+ 2√x+√1-x x2-x)+2 2√1-x√x+= 例6设y=f(e)·e“,求y 解y=[f(e)]·e+f(e)·[e)]′=P(er)e·e)+f(e).emP(x) e '[ef(e)+f(r).f(e) 注意导数符号上的细微差异往往代表不同的求导过程,如f(e)与[f(e)]’是完全 不同的.(e)表示函数f(e)对e的导数;而[f(e)了表示函数f(e)对自变量x的导数: Lf(e)]=f(e"),er 在求极限时我们用变量代换可使得求解过程大大简化;同样,在求导数时使用变量代
第22讲复合函数求导法 73 换也可以起到事半功倍的效果 例7y=hn的十乙+1-mrn+x求y 解若直接求导显然太繁琐.根据函数y的表达式的特点我们引人中间变量 =√1+x,则 =1n2+1 Zarctant 再利用对数性质将函数化简,然后求导就比较方便了 y=In(t+1)-In(t- 1)-2arctant,t=(1+rs) ∴yx=y·t'x=ln(t+1)-ln(t-1)-2 arctan],·[(1+x)3] 4t 1 +t2"y(x+1) 4√(1+x) 4 √(1+x) xⅥ1+x 例8已知y 3x+2| f(x)= arcsin.C2,求 d 解gy复合函数求导法p{3x 13x+2(3x+2 12 dx 3x+2(3x+2) 函数的无关特性 2 12 arcsin +2(3x+2) 3丌 于是 2 12 arcsin1· 例9设 sinx,求f[f(x)] 解令t=x,则f(t)=sin2t,f(t)=2cos2,从而 ftf(r)]=2cos2[f(x)=2cos(2sin2x) 例10已知af(sin2x)=4 sinrcosT,求ax (arcsin 解由复合函数求导法则得: f(sin2x)=f(sinx).(sin2r)'=f(sin'x)2sinrcos. 由已知条件得:f(sin2x)2 sinrcosr=4sin3 TcosT,所以f(sin2x)=2sin2x,即f(u) 因此 f(arctan)=f(arctan)(arctan)'=2arctanr 通过这一讲的学习,我们可以看到复合函数求导的关键是搞清复合关系,从外层到里层 层一层地求导,不要漏层,当所给函数既有四则运算又有复合运算时,应根据所给函数表 达式的结构,决定先用四则法则求导还是先用复合函数的求导法则
