第24讲隐函数求导法 第24讲隐函教求导法 由方程F(x,y)=0所确定的y为x的隐函数,记作y(x),把y(x)代入原方程应有恒 等式 F(x,y(x)≡0 该等式两边对x求导,再从中解出y,此方法为隐函数求导法.这一讲我们讨论隐函数求导 的一般方法及对数求导法与幂指函数的导数 、隐函数求导的一般方法 求由方程F(x,y)=0确定的隐函数y的一阶导数的方法有: (1)记住y是x的函数(即y不是自变量),运用复合函数求导方法,将方程两边对x求 导,从所得结果中解出导数y,即得导数的表达式; (2)利用一阶微分形式不变性,方程两边求微分,进而求出隐函数的导数y; (3)如果方便的话,也可以将y看做自变量,x看做函数,求出,再利用反函数的导数 公式求得x 上述三种解法中,第一种方法最为常用 例1求方程x+2y-cosy=0所确定的隐函数y的导数ax 解法1方程两边对x求导(记住y是x的函数),得 1+ 2y+ siny.y=0 解得 SIn 解法2方程两边微分,根据微分的四则运算法则及一阶微分形式的不变性,得 d(+ 2y- cosy)=d(0), ep dx t d(2y)-d(cosy)=0, 或dx+2dy+siny·dy=0,从而dy +sin 解法3由x+2y-cosy=0,得x=cosy-2y,于是2 d 2+ siny 例2设y=y(x)由方程y-xe=1所确定,求yx-。的值 解方程两边关于x求导,得 0 解出y,得y 在原方程中令x=0,则有(y-xe)l。=1,y(0)=y|2-6=1, 例3求迪卡尔叶形线x+y-30xy=0在其部顶点(≥4处的切线方程
高等数学重点难点100讲 解将方程两边对x求导,得 3x2+3y2y=3a(xy+y), 解出y,得y-y二ax 在点(3,3处的导数即切线斜率A=y…十--1于是要求的切线方程为 ÷ y-ya=(-1) 或x+y (注:笛卡儿叶形线的图形在第43讲,请参考) 例4设函数y=y(x)满足方程e+sin(x2y)=y2,求y(0) 解将方程两边对x求导,并注意y是x的函数,得 e"(y + Iy)+ cos(x'y).(2xy +x'y)=2yy 解出导函数 yery 2xycos(x'y) rey+xcos(r y)-2y 其中y是由方程e+sin(x2y)=y2确定的隐函数,以x=0代入原方程得 解得y1=1,y2=-1.故当x=0时曲线y=y(x)上对应两点(0,1)及(0,-1) 将x=0,y=1代人(*)式得y= 将x=0,y=-1代入(*)式得y 2 对数求导法 例5设y=(11)(a)(a b>0,a≠b),求 解直接求导是很复杂的,为了简便,两边先取对数得 ly= xIn n+ alnb-alnx blnr bina, 再按隐函数求导法求导得 6 rr 解出y,得y-(22+1=)()1212 例6设y=y(x)由方程xe(y=e”确定,f(x)是可导函数且f(y)≠1,求y 解将方程两边取对数得 Inz+f(y) 将上式两边关于x求导,得士+f”(y)·y=y,解出得y(1-P() 例7设y 12,求 1V(x+2)2 解两边先取对数,得
第24讲隐函数求导法 79 Iny 2lnx-In(x-1)+In(2-x)-ghn(x+2) 上式两边对x求导,注意y是x的函数,得 3(x+2) y=x-1y(x+2)2Lxx-1-3·2-x +2 上面例5,例6,例7求导数的方法是先将函数式子两边取对数,然后化成隐函数求导 数,这种方法称为对数求导法 对数求导法适用于由乘、除、乘方开方多次运算得到的函数起到化积、商的导数为和 差的导数的作用,从而简化了计算.此外,对数求导法还适用于幂指函数的导数 、幂指函数的导数 型如y=v(x)(a(x)>0,u(x),U(x)可导)的函数称为幂指函数. 例8已知y=(1+x2)",求y 解两边取对数得ny=sinx·ln(1+x2),将该式两边对x求导,得 yy=cx·1n(1+x)+sinx·,2, y=(1+2)“[+x)+x2 另解:对幂指函数用下面的方法求导更为方便 “m+y=em+[sx:lm(1+x)+smx·1+=2z] =(1+x)-ox:l4+x)+124=smx 例9已知方程x=y确定y为x的函数,求 解两边取对数,得 yIn. ny, 两边关于x求导数,得ylnx+y=lny+·y解出y=yny I yInx 对数求导法把幂指函数的导数化为乘积的导数,从而简化了计算,应特别注意的是幂指 函数(底数与指数都是x的函数,都是变量)既不是普通的幂函数(底数是变量,指数是常 量),又不是普通的指数函数(底数是常量,指数是变量)因而求它的导数既不能用幂函数求 导公式,也不能用指数函数求导公式,而是采用对数求导法