第7讲极限的几个重要定理(1) 第T讲极隈的几个重要定狸(1) 第7讲至第9讲集中讨论数列与函数极限的若干常用定理它们是极限理论的重要华 成部分.所有这些定理都可以依据第5讲极限的“cN"、“ε—0”或“e-X”定义来证明.可 见,对极限定义的深人理解和灵活运用是至关重要的,这几讲侧重讨论定理的应用,定理的 证明留给读者. 定理1(数列极限的惟一性)若数列{xn}的极限存在,则极限值是惟一的 定理2(数列与其子列的关系) limr=a台{xn}的任何子列都以a为极限 注意定理2所说的充要条件是{xn}的任何子列(即所有的子列,都以a为极限).如果 x}的某个子列{xn}收敛,那么{x}未必一定收敛,但若有两个子列{xn},{xn},imxn= a,imxn=b,(a≠b),则{x,}肯定发散 例1讨论数列{,}={n}的收敛性 解子列{x山}={5in只k水}=(snx}=10},当k→∽时,…→0 k+2 子列{xm+}={sin4x)=sin(2kx+x)}=1},当k→时,x,: 所以{xn}发散. 定理3(数列极限的有界性)若数列{xn}的极限存在,则数列{xn}有界. 注意定理3指出,若数列{x}无界,则它必发散,但{x}有界,并不能确保其收敛(如 例1{x}有界:sin≤1,但{,}并不收敛) 例2讨论数列{xn}={2-}的收敛性 解考虑子列{x2}={2-12}={4},当k→∞时,xy→,即{x,}无界,所以数列 {xn}发散. 定理4(数列极限的保号性)若数列{xn}的极限存在,即limx,=a,且a>0(或aN时,恒有x>0(或xnb则必有丶 当n>N时 注意定理4与定理5的逆不成立即当n>N时,虽恒有x,>y,却未必imx,=a >b-1imy如x=2,.1,2>1(m=1,2,…)但lm,=lmy,=0 定理6(函数极限的惟一性)若极限limf(x)存在,则极限值惟一 定理7(函数极限的局部有界性)若极限imf(x)存在,则f(x)在x。的某个空心邻域 U(xo,b)内有界 例3讨论lm-sin的存在性, 解取xn=_1 则f(x)=2mx+sin2n+ 2n+ 否-2m+
24 高等数学重点难点100讲 当n→∞时,点列xn→0,f(x)→+∞.可见不论正数δ如何小,f(x)在(一,0)(x ≠0内均无界,由定理7知im1in1不存在 注意定理7指出:若lm存在,则∫(x)在局部范围(x-8,x+0)(x≠x)内有界, 与函数f(x)在其定义域D是否有界是不同的概念,如 limrsinx存在,但 ISIn在定义域上 r-O 无界 定理8(局部保号性)(1)若limf(x)=A,A>0(或A0,当 x∈(x。-8,x+8),x≠x时,f(x)>0(或∫(x)0,当x∈(x-8,x)∪(x0,x+8)时,f(x)≥0(或f(x)≤0) 且limf(x)=A,则A≥0(或A≤0) (3)若函数f(x)在点x连续且f(x)≠0,则存在x0的某一邻域(x。-0,x+δ),当 ∈(x-8,xo+δ)时,f(x)≠0 例4(单项选择题)已知f(x)在x某邻域有定义,且f(0)=0,lim 2.则 cosT 在点x=0处,f(x)() (A)取不到极大值;(B)取不到极小值;(C)取到极大值;(D)取得极小值 f(x =2>0.∴由保号定理,存在δ>0,当00,且1-csx>0,x∈(-δ,0)∪(0,0) COST ∴∫(x)>0,又f(0)=0,f(x)>f(0),x∈(-8,0)∪(0,δ) 即f(x)在x=0处取到极小值.故选D 例5(单选题)设inf(x)-f(a) (x-a)2 1则在点x=a处( (A)f(x)的导数存在,且f(a)≠0; (B)f(x)取到极大值; (D)f(x)取到极小值; (D)f(x)的导数不存在 解∵lim-2=-1,存在δ>0,当x∈(a-8,a)∪(a,a+)时, f(r)-f(a) (x-a) 0,∵f(x)-f(a)0,则存在一个x>0,当|x|>X时,f(x)>0 证因为imf(x)=A,A>0,故对。A有x>0,当|x|>X时,f(x)-A|0 定理9(函数极限的保序性)若f(x)≥g(x),且limf(x),lmg(x)存在,则limf(x)≥ img (x)