参考答案 第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 二、1.(x,y)10≤x≤2,0≤y≤2};2.(x,y)1x+y>0,x-y>0}; 3|(x,y)x≥0,y≥0,x2≥y;4(x,y)10<x2+y2<1且y≤4x,h3; 5.(x,y)1x<x2+y2+z2≤R. 三、1.(x+y)+(xy)2; 2.f(x)=x2-x;z=(x-y 3.f(x,y)=x 4.ln2; 四、1.当点(x,y)沿x轴→(0,0)时,极限值为0,而沿直线y=x→(0,0)时,极限值为1,故 极限不存在; 2imf(x,0)=0表明点(x,y)沿直线y=0→(0,0)时,a,a1x,y)=0,-m/(x, 3x)=2表明点(x,y)沿直线y= 2 (0,0)时,limf(x,y)=2,故原极限不存在 f(x,y)|≤.li lin =0,故limf(x x,y)→(0,0) y)=0=f(0,0),于是∫(x,y)在(0,0)点连续 五、在圆周{(x,y)1x2+y2=4}上 六、1.令(x,y)分别沿y=kx和y=x2→(0,0) 2..lm.f(x,y)=1=f(0,0),故连续 (x,y)→(0.0) 第二节偏导数 22. 12x√2y(2 3y(1+xy)y,(1+)y(m(1+xy)+1+x 4 z( z(x-y )In(x-y 5.1 +( 2.2,2,0,0 x+y).(+y(+y); 2. yIn'y, I(x-1)y-2, y(1+aIny 四、1.2x 2 4.(2y+4x2y2)e^ˇ,x'e^,(2x+2x3y)e 五、4;t、.1,2:2.x+y≠0时,(x+y);+y=0时 第三节全微分单元练习1 、1.充分,必要;2.必要,充分;3.充分;4.充分 或-01,-0125:2-2(
3. -Io-(xdr -ndy): 4.(2dr+ zlnrdy+ yhnzd:) 6. dr -d 三、1.-0.02;2.3dx+3小y; 四、C,B,D; 五、成立2,4,6,10,11; 不成立1,3,5,78,9,12; y-rcos(ry 8ln8; e cosy 2√x(1-xy2) 七、1.令∫(x,y)= arctan+x,则f(0.0)=0,f(0,0)=f,(0,0)=1,由 f(x,y)≈f(0,0)+f1(0,0)x+f,(0,0)y即得证 第四节多元复合函数的求导法则 -、1.4x,4y;2.ln(3x-2y)+ Br- 2y)y2,3In(3x-2y) (3x-2y)y 3(1 e(1 (3t-4t3) 6. 2oos(2r+ y)-sin(x +2),cos(2x +y)-2sin(x 2y) 4 十 aFaF x+239(x) 二、1.(1)2x/1+yf2,-2yf1+xf2, (2)1f,-f1+1f2,- (3)f1·yoox f2·cosy,f1·snx-f2· siny; (4)/1+y2+ yrf',, rf2+ rxf3, ryf3: 2.2f+4x2f,2f+4y2f,4xyf, 四、1.y(xy)+f(x+y)+y(x+y);2.3f+g+f+2g 第五节隐函数的求导公式 x2+s;3“-340 6.y, =(=-2ryziry2, 7. 2ryf 2* f 2yF2+F 2r F 2zF 2( 第六节微分法在几何上的应用 3 y(x=了(xn)、④n,+g,(x 2
2 4.x+2y-4=0, 0 5z-2=3(x-1)+1·(y+1),即3x+y 二、1.切线:x (2-1)=y-1=5 2,法平 面 2 2.切线:x-1÷16(y-1=-16(x-1),法平面:6x+9y-z=24; 点:(1,-1号),切线:x-1=-(y+)=-3 4.切平面:axx+byy+ca0z=1,法线:二=yy=2二2 2 7.(-3,-1,3),x+3 四、9x 27或9x+17y-17z-27=0 第七节方向导数与梯度 2.-√2 3 41xF1,2x,2y,2,,产, +b2;3 4沿方向四u(u,号)=12-=号,-1最大变化率√(2-号)+ 5.12,14,-12},22;6.(1)z2-xy=0,(2)x=y=z 7.12,-4,1},√21; 第八节多元函数的极值及其求法 二、1.3;2.(0,0)和(,1),极小值,-1;3.( 2,-1),极小值,一号; 4.极大值点 (#,0) 极小值点(-2,0); 、1.极小值∫(-1,1)=0;2.极小值f(aa)=3√a; 时, 最大;4 816 5. ,x=号时,绕x边旋转的体积最大 6(3.3):7,最长√+5,最短√-5 四、1.最大值,最小值0;2.2√2 第八章单元练习2 1.x3+3x2+3x,z=√y+x-1; 4,2x)f+2p(x)·+x0x)[((x)+x()+1(+2 5
79=时有最大值;甲=4时,有最小值;甲=x或甲=4x时,为0 8.2 Fx(F4)2-2 (F4 b 5’5 11.2x+2 第九章重积分 第一节二重积分的概念与性质 、Q=[k(x,y)ho;=、1.l1≥1;2.n≤l2;3.l1<l D 三、C,A 四、1.0≤Ⅰ≤2;2.0≤I≤x2;3.2≤Ⅰ≤8;4.36π≤I≤100π 第二节二重积分的计算方法(一) 1:43 三、1.dx|,f(x,y)dy;2.d)2 f(r, y)d 3. dx f(r, y)dy r, ydx 第二节二重积分的计算法(二) 1. do.f(rose, rsin)rdr f(roos, rsing)rd 3. de f(roosa, sino)rdr f(roose,rsin])rdr; 2. de f(roose, rsin)rdr 3 1.4na';2.√2-1 8;.i6 四、1x(-1;22"答(1-话-) 16 五、1.14 1);3.4(1-∞4) 六、1.36 2 7 第三节三重积分( f(r,y,z)dz; 2. ds f(r, z)dz dy:(x,y,z 、是三、,4的2x+
四、1 3.0 4. 五、1.4√6;2 √3 六、2 七、 8 9 第三节三重积分(二)(柱面坐标和球面坐标 一、1. 12 3 (2-√3)(1 三、1 2.8: 15 四、1.2(5√5 3 五 d√2-小xf(√x+y2+x2)dz; f(√ 2)dz; qdp. f(p)p 第四节重积分的应用 1.2a2(丌-2);2.√2 3.16R 3x),其中y=√2x;2.( 6-+ ab 2(b+a),0 (3…3)阻、10号)2(0x二2) 五、1 3y六、翌":七、,0,号 第九章单元练习 1.0;2.36;3.I1<l2;4 5.. de.rdr f(r2+22)d 二、B,B,C,C,D; 三、1.,dx.f(x,y)小y;2 f(x, y)d 四 3(x-3); 9 5 五 六、1 第十章曲线积分与曲面积分 第一节对弧长的曲线积分 2.√2;3.;4.12a. (5 (5√5-1);2.2(e-1)+ae 3 6ab 6ab2r 3b(a2+2x62 +4b +46 3a2+4b
=a2√a+b(2n2+号bx):2.2 第二节对坐标的曲线积分 2πR aa;2.-2 5,-a|F|;6.(1)3;(2)11;(3)14;(4) 7.(1) P+ 2xQ √1+4 ds;(3),(√2x-xP+(1-x)Q)a; P+22Q+ 3yR 1+42+9y 第三节格林公式及其应用 1.0;2.3 2;4.0 30 4.(1)236;(2)5 5(1)0;(2)x2;6,x3y+4x2y2+12c(y-1)+12 第十章单元练习1 3.0. 二、1.2 6.0 8√2 7.f(a)连续故存在F(u),使F(a)=f(),中f(x2+y2)(mdr+yy) 29/ dF(x+y 第四节对面积的曲面积分 ∫(x,y,0)dxdy;2.∑的面积 1()14x;(21x;2.(1)2《2+1)x;(2)9x 6);5.2 4 8.(0.02);9.363+1) 第五节对坐标的曲面积分 1.±R(x,y,0)dzdy; 4 5()∥3P+2Q+23R 2P+2yQ+Rds;6.1a3h2;7 ds
R 2.21r 第六节高斯公式通量与散度 2.4 3a 3.π;4.-2r 四 20 第七节 stokes公式环流量与旋度 1.2 0. 二、1.-√3ma2;2.-2ma(a+b);3.9π;4.0;5.0 1.2 2.12x 六、rot=2 第十章单元练习2 12 2 二、1.288 √2-1);3.125√2x R 5.讼+ 6.0;8.(5-1)a 第十章无穷级数 第一节常数项级数的概念和性质 7.2·。.2x 2 2 2·3·2·3·4·3·4·5 4·54·5·6’5·6·7 n+1)n(n+1) 6.( (-1)"a" (2n+1)! C, C, C, C 2 2 发散;4.发散 五、1.收敛;2.发散;3.发散;4.收敛;5.收敛; 6.发散;7.发散;8.发散;9.发散 六、不能,能 3 第二节常数项级数的审敛法 3.×;4.√;5.√;6.×;7. 、1.发散;2.收敛;3.收敛;4.01时,收敛; 三、1.条件收敛;2.绝对收敛;3.发散;4.条件收敛;5.绝对收敛、发散 5.收敛;6.收敛;7.收敛;8.收敛;9.收敛;10.收敛; 四、1.条件收敛;2.由limn2a存在知,彐M>0,使|n2an≤M(n=1,2,…) an1≤n,又∑收敛,所以∑1an1收敛即原级数绝对收敛;3 7
第十章单元练习1 1.必要充分;2.充要;3.收敛发散;4.绝对收敛; 3 5.;6.;7 4 三、1.发散;2.收敛;3.收敛;4发散;5,p>2时,收敛;0)(-1) (2n-1)!! ∈[-1,1].四、 第五节函数的幂级数展式的应用单元练习题 1.1.0958 2.0.4940 2.( 3. 4.[4,6) 5[-2,2)x)={x4+x2,x≠0、6 a2+2y,22 4n+1 2.当 v皆为正项级数时,∑v收敛 3.f(x) x∈[-22 8
第七节傅里叶级数 f(x),x≠(2k-1) 3.s(x)= x=(2k-1)丌 4.x≠k(k=0,±1,±2…) 二、1.1+2+2(-1)nx,|xlsing nh xsnx,x∈[0,h)U(h,r] 三、将∫(x)=3x2-6x展开成余弦级数 四、2+|x1= 是-∑ (2k-1) s(2k-1)兀x
第十一章单元练习2 二、1. (-2,4);3. 三、B,B,C 四、1.[0,6);2.R=√ +1 2k-1 (2k-1 ;6.3. 第十二章微分方程 第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程 1.一阶;2.三阶;3.一阶;4.二阶 二、1.是,特解;2.不是解;3.是,通解;4.是,通解 2x yy 四、1.y√x2+1=C;2.10+10=C;3.3+y=Casx; 1+e=2√2cosy;5.3(x2-y2)+2( )+5=0;6 五 六、v=√202+500,t=60时, 七、k=Rn高 第三节齐次方程第四节一阶线性微分方程 二、CABA 2. x = In 1;3.sin= 四、 C ny (x+1)+C(x+1)2 +2e 六、f(x) 3√x 七、1.令u=x-y,(x-y)2=-2x+C;2.令u=x+sny,x+sny=Ce; 3.令 第五节全微分方程 是,是,否,否 DD B 1.r-y=InIr+y1+C; 2.x+y=ce: 3.I+ y- arctan t=C, 4 3 y tt Isiny-y 五、1 2.1,an(x2 C 六、f( 通解 2 九、P(x,y)=y3+3x2
