42 高等数学重点难点100讲 第13讲利用阜调有界准则求数列极限 在极限理论中有这样一个准则:单调上升有上界的数列、单调下降有下界的数列必有极 限 这条准则的重要意义在于能使我们完全依据数列本身的两个特性(单调性与有界性) 来判定数列极限的存在而不必预先知道它的极限值,对数列的单调性的证明和有界性的估 计通常采用数学归纳法其关键是要建立数列相邻两项之间的关系式 1·2·3 ··7 例1设xn= 3·5…(2n-1) ,n=1,2,…,求lmxn 解先证明数列极限的存在性 显然x,>0(m=1,2,…),2=n+1x4(k=0,1,2,…),故{x}单调增 imx存在,设 limx=a 在x x (2 )中取极限,得 limx+1= limx(2-limx,),即a=a(2-a),亦 即a(1-a)=0 因为a>x0>0,所以a≠0,于是,a=1,即 limx=1. 注意用该准则求极限时,必须先证明原数列的极限存在;然后,再去求该数列的极 限否则,可能出现荒谬的结论例如,对数列xn=n(n=1,2,…)有关系式 贸然地令n→∞取极限,便会导出 limr+1= limr+1.两边减去lmxn便得0=1,得出 这一荒谬结果的原因就是忽略了数列收敛这一前提
第13讲利用单调有界准则求数列极限 43 例3已知数列通项为 1 证明lmxn存在并求出极限值 证先证{xn}是单调递增数列 由通项知,x1=1,x2=1 因此,有x2>x1设x4>x-1,则 x"+1-x=1+ (1+x)(1+ 根据数学归纳法,即知{xn}单调增加 又当n≥2时,x1≥x=1,所以,1十xn x1=1,所以要求的解是a=1+。5,即所求极限Imx 1+√5 2 例4设x1=10,x,=√6+xn,(n=1,2,…),试证数列{xn}收敛,并求其极限 分析先计算前几项来观察数列的单调有界性 x1=10,x2=√6+10=4√6+√6+3=√6+3=3, √6+3=3 从前6项初步看出:{xn}递减,且有下界3,下面用归纳法证明之 证先证{xn}有下界,即xn>3(n=1,2,…) 当n=1时,x1>3 当n=k时,设有x>3,当n=k+1时,x1=√6+x>√6+3=3, ∴对一切自然数n,有xn>3 再证{xn}单调减少,即xn+13(n=1,2,…), ∴{xn}单调减少.从而 limx存在,设为a 在关系式xn+1=√6十x,两端令n→∞,得 √6+a或 6=0,或(a+2)(a-3)=0. 因a≥3,故a+2≠0,于是a=3,即lmxn=3