第4讲函数概念(4) 13 第4讲函教概念(4) 、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合运算所得到的,并且可以 用一个式子表示的函数都叫做初等函数·微积分的主要研究对象是初等函数 例1已知函数f(x)的定义域是(0,1),求f(x2)的定义域. 解函数y=f(x2)可以看成是由y=f(t)t=x2复合而成.由于y=f(t)的定义 域是(0,1),对t=x2来说,为使t∈(0,1),显然有x∈(-1,0)或x∈(0,1).所以,f(x2) 的定义域为(-1,0)∪(0,1) 注意注意上述定义中的“有限次”与“一个式子”两个条件,函数y=x+2++ …++…不是初等函数因为它是由基本初等函数经过无穷次四则运算得到的,分段函 数一般来说不是初等函数. 二、分段函数 如果一个函数在其定义域内,对应于不同的区间段有着不同的表达形式,则该函数称为 分段函数 2 ≥2 例2已知f(x)= (x≠-1),求f(0),f(4),f x2,∴:f()=4=2 计算f(a)时要分两种情况: 当a≥2时,a)=2+,当a<2时,)=2-,(a≠-1 注意分段函数的定义域要分段考虑. 例3设f(x)= 0≤x≤1; 1<x≤2, 求下列函数的定义域 (1)f(2x);(2)f(x+3) 解(1)f(2x)= 0≤2x≤1; 1,1<2x≤2. 0≤x≤1; <x≤1 从而f(2x)的定义域为[0,]UG,1]=[0,1] (2)∫(x+3)= 0≤x+3≤1; -1,1<x+3≤2. 3≤x≤-2; 2<x≤-1
14 高等数学重点难点100讲 从而f(x+3)的定义域为[一3,-2]U(-2,-1]=「-3,-1] 注意计算f(3x)或f(x+3)时,应将原来函数关系式中出现变量x的地方皆用3x 或x+3代替特别不能忘记要将表示自变量取值范围中的x用3x或x+3代替 注意分段函数的单调性应分段考虑 倒4(单项选择题)函数f(x)=(1+x2,x≤0 是() x-2,x>0 (A)在(-∞,+∞)单调增; (B)在(-∞,+∞)单调减 (C)在(一∞,0)单调增,(0,+∞)单调减;(D)在(一∞,0)单调减,(0,+∞)单调增 解在(一∞,0]上任取x1;x2,x10 即f(x1)>∫(x2),故∫(x)在(一∞,0]上单调减少 在(0,+∞)内任取x,x2,0<x<x2,f(x1)-f(x2)=(x1-2)-(x2-2)=x x2<0,即∫(x1)<f(x2).故∫(x)在(0,十∞)单调增加. 综上,选D 注意求分段函数的反函数.要分别求出各区间段的反函数及定义域 3x+1, 3≤x<0; 例5求f(x)={32 0≤x<1;的反函数 2 1≤x≤3 解(1)当-3≤x<0时,函数y=3x+1的值域为:-8≤y<1,解出x x与y互换得该段的反函数为y=1,-8≤x<1 (2)当0≤x<1时,函数y=3的值域为1≤y<3,且x=log;y,于是该段的反函 数为:y=log3x,1≤x<3; (3)当1≤x≤3时,y=x2+2,y的取值范围为:3≤y≤1,解出x=±√y-2 又因1≤x≤3,故取x=√y-2,交换x,y,得该段的反函数:y=√x-2,3≤x≤11: 8≤x<1; (4)综上,函数f(x)的反函数为∫-1(x)= 3 1≤x<3; √x-2 3≤x≤11. 注意在求分段函数的复合函数时,也要分段求解 例6设f(x)=)(x+|x|),gx)= x<0 x2,x≥0, 求fy(x)] 解(1)将gx)代入f(x)得 fx)=(q(x)+|x)|) 0,g(x)<0…分段函数的第一段; p(x)≥0……分段函数的第二段 (2)分段求出复合函数 ①考虑第一段:[x)]=0,g(x)<0,9(x)= e-,x<0; 0. 使得x)<0,即gx)= <0,x<0; 0,x≥0 成立的x的取值为空集 φ={x|e-‘<0,x<0}U(x|x2<0,x≥0}
第4讲函数概念(4) 15 x<0 ②考虑第二段:[gx)]=x),x)≥0;(x)= <0; {x|e-≥0,x<oU{x12=2≥0成立的x的取值范围为 使gx)≥0,即使y(x)= ≥0 x≥0}=(-∞,0)U[0,+∞). 当一∞<x<0时,[yx)]=9x)=e;当0≤x<+∞时,[x)]=9(x)=x2 (3)综上,得f[%x)]= e-,x<0; x2,x≥0. 1,x为有理数; 例7(单项选择题)狄利克雷函数D(x)= 0,x为无理数是() (A)以实数为周期的周期函数;(B)以有理数为周期的周期函数; (C)以无理数为周期的周期函数;(D)不是周期函数 解像前面例1至例5一样,仍然需要分段考虑注意到:有理数+有理数=有理数, 有理数+无理数=无理数,无理数+无理数=无理数或有理数可知,对任意实数x和有 理数r,恒有 DCr +r)=Dr 故有理数均为D(x)的周期所以选B. 注意我们将看到在讨论分段函数的极限问题连续性问题可导性及可积性等问题 时,也需要分段考虑,其所以要分段考虑,主要是分段函数在分界点不具有初等函数的性质, 左右两侧具有不同的函数表达式;分段函数的内点(即非分界点的点)具有初等函数的性 质因为这些点的左右两侧总是面临一个表达式