134 高等数学重点难点100讲 第42讲曲线的凹马与拐点 、曲线的凹凸区间与拐点的求法 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有一阶和二阶导数如果在(ab)内f( >0(0,在( )内,y"0;在(1,+c)内,y 0,又因∫"(x)连续,所以由连续函 数的保号定理知,存在x0的某个邻域(x-δ,x0+δ),在该邻域内fm(x)>0,因此二阶导 函数P(x)在(x。-δ,x。+δ)内单调增加.注意到条件門(x)=0,故在(xo-8,x0)内 (x)f"(x)=0,由拐点判别法知,(xo,f(x) 是曲线的拐点
第42讲曲线的凹凸与拐点 135 2 例4求曲线 y=3+p的拐点 3(1+t 兰 3(1+t2) 2t 3(2-1) 2t 4t3 由y=0得t=-1,t=1,注意到t=0时,y不存在 参数t=-1,1,0分别对应曲线上的点(1,-4)、(1,4)、(0,0),而曲线上任一点(x,y) 都有x≥0,所以由参数方程所确定的函数y=f(x)的定义域为[0,+∞),而t=0对应的 点(0,0)是曲线的端点,所以不是拐点, 对于t=士1,我们求三阶导数 31 )’4 (1+3)3≠0,y"x1-1=8 (-1+3)=4≠ 由例3知t=-1所对应的点(1,-4)与t=1所对应的点(1,4)都是曲线的拐点 例5试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的a、b、c、d,使得该曲线过原点,在点(1 1)处有水平切线,且该点是曲线的拐点 解由题意知,函数y=f(x)满足: f(0)=0; d=0 f(1)=1; a+b+c=l 即 +26+c=0 6a+2b=0. 解方程组得a=1,b=-3,c=3,d=0 例6设P(x)=[g(x)],其中g(x)在(一∞,+∞)内恒为正,g(x)单调增加,且 g3(0)=0,试证:点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点 证由于g(x)可导,所以f(x)二阶可导,(x)=2g(x)·g(x),由已知条件知: 尸(0)=0. 当x0时,g'(x)>0,m"(x)>0.所以点(0,f(0)) 是曲线y=f(x)的拐点 例7设/(x)有二阶连续导数且f()=0,mx2=1,则下面结论中,哪一个是 正确的?() (A)f(0)是f(x)的极大值; (B)f(0)是f(x)的极小值; C)(0,f(0)是曲线y=f(x)的拐点; (D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线y=f(x)的拐点 解由给条件x=1(0型)知,1m(x)=0 又(x)连续,所以f(0)=0.可见,点(0,f(0)可能是拐点 由回n>0故依保号定理知,存在x=0的一个去心邻域(-a,0)U(O。.在该 邻域内 x
136 高等数学重点难点100讲 又因|x|>0,所以f(x)>0(当x∈(-8,0)U(0,0)),这说明在x=0的两侧附 近,(x)不变号,所以点(O,f(0)不是拐点 同时它又说明:f(x)单调增,当x∈(-8,0)时,f(x)f(0)=0,即f(x)在x=0的左侧取负号,右侧取正号,故f(0)是f(x)的极小 值 故正确结论是B 利用函数图形的凹凸性证明不等式 例8设x>0,y>0,试证:znx+yny≥(x+y)n+y. 证将不等式两边同除以2,变形为nx+yny≥x+2hnx+2显见,左边是函数 f(t)=ln在x,y两点处的平均值,而右边是f()在中点马2处的值这时只需证fP() ≥0即可 求一阶,二阶导数得P()=1+lm,P()=1>0 故t(2≥/(2),得号(x+如y>2h2 即 xlnx+yny≥(x+y)lnx+y 例9试证对任意n个正数x,x,…x,有x,x2“x,≤互十方“十 证考虑函数f(x)=-mx由厂(x)=-1,P(x)=2 0知曲线y=-lnx在 (0,+∞)内是凹的,所以有 ln2x1+x…+x2≤=nx-lnx=…=lnx 即l )≥lnyx…x,或 ≤