152 高等数学重点难点100讲 第49讲不定积分的第一换元法 不定积分的第一换元法也称为凑微分法它的基本思路与解题过程是这样的: 第一步:凑微分,即把已给的积分凑成如下形式: fEo(r)](r)dx=f[p(x)]dp(r); 第二步:换元,令u=g(x),则有 fLo(r)]do(r) u )au i 第三步:积分,即运用直接积分法或直接按积分表中的公式写出结果 f(udu= f(u)+c 第四步:回代,即把所求结果用=g(x)代人,换成原积分变量x的函数: fLo(r)]do(x)=F[p(r)]+C 下面的例1体现了第一换元法的基本思想 例1求 dx 2+3x 解积分表中没有现成的公式可用但原式=(2+3x)dx与公式|d=4 +C(a≠-1)相似,它们都是幂函数的积分,这提示了我们“凑微分”的方向,即把原积分 “凑”成与该公式完全相同的形状 ∴d(2+3x)=(2+3x)dx=3dx,dx=d(2+3x) 原式=(2+3x)-dx决微分1(+3x)d(2+3x) 换元:2+3x=1 3/on积分1.2n+C回代22+3x+C 凑微分法的成功应用要求对微分公式的熟练掌握但适当记住部分常用凑微分公式,对 于提高解积分的能力是有帮助的 1.形如f(ax+b)dx,∫(ax+b)xdx的积分(a≠0,n≠0,-1) fLax+ b)dx : d ar+b=adz l ff(ar +b)(ax+b)r f(u)du, ⊥dax+b) ∵d(ax+b)=wnx"ldx1 f(ar"+b)x"-'dx f(ax+b)d(ar"+ b) ∴x-1dx d(ar+ b) x+ b f(u)di 例2求 解原式=(x2+1)-2xdr=idx:+1)=2ad sdx+12(x2+1)-td(x2+1)
第49讲不定积分的第一换元法 153 x2+1=u 2td=√+C=2+工+C 例3z(1-x)dz 解原式=[1-(1-x)](1-x)z=[(1-x)-11(1-x)d(1-x) 1-x= (a-1)n4d=8-7+C=-7(1-x)+8(1-x)2+C 2形如()如(x)a,rex,m)的积分 jh她=÷,)共=2M( f(e")edx=f(e)(e);(Inx)dx=f(Inz)d(In.x). 例4求zd 解原式=|5·xdx=-s(h) Idu In5 In5 例5求 d √x(1+ 解原式 d 1+(√x)2√ d(√x) 1+(x)2 1 +udu= 2arctanu+C=arctan v+0 例6求」 1+e 解原式= d(e) d(1+e) 1 e+1= ∫dn=lm+C=lm(c+1)+C 例7」 rlnrlnlnx dx Inr 解原式= d (Inx) d nrInlnr ulna In -d cnu) Inu +C=Inlnu +C= InlnInr nu 3.形如 f(sinx) osrdx,r( cosx sinrdx的积分 f(sinx)cosxdx=f(sinx)d(sinx),f(cosx)sinxdx=-|f(cosx)d(cosx) 例8求「=03=dr sIn 解原式= SIn"T cos rdr= sinE(sin. r) d SInT sInar u"idu-uidu=2 v 2n2+C=2√sinx(1-5 Sin
154 高等数学重点难点100讲 例9求e+hsin4xdx 解原式=esh22in2 xcos 2xdx e5+in'arsin2xcos2rd(2x) 2 e5+sinsinucosudu SInu E v dv 1[e+d(2+5) v2+5=U 2Jedw= te+c=test z+c 一般地对于积分sin"dx,cos"ddx,当m为奇数时,利用公式1-sin2x=cos2x或1 sin2x进行变换;当m为偶数时,可化为倍角的三角函数,降幂后再积分对于积分 sinmrsinnzdx, cosmxsinnzdx, Isinmrcosnzdx, Icosmrcosnzdr m≠n,可利用积化和差 公式进行变换 4.形如f( arcsinx) dx,∫( arctan) 1+xdz的积分 f(arctan) f(arcsinx )d(arcsin) fcarctanx) 1ax f(arctan)d(arctanx) 例10求 arctan v x -dx √x(1+x) 解原式= arctan d(√x) 2larctanu 1+(x)2 arctan a 2arctanud (arctanu) 2udv=v2+C=(arctan Vr)2+C 5.形如f(tanx)sec2xdx,∫(cotx)csc2xdx的积分 cotr)csc2rdx=f(cotx)d(-cotr). 例11求 d sin'x 2ce 解原式= d (tanx) tan'x +2 cosx 1dx=」tanx+2 x2+(√2)2 arctan +C arctan tan.x +c Intan 例12求 x sInC Intan Intan 解原式= d(÷) d u sinuosa in -cos Intanu tanu tHnN =U d d (tanu) tanu cost tanu =Invd(Inv)=dIn2u+C=iNtan+
第49讲不定积分的第一换元法 155 6.形如 F(x F(x (x)]f(x)dx(a≠-1)的积分 dF(x)=In F(x)+c f(r)olf(x)dx f(x)]°1+C,(a≠-1). 例13求「nx+ cost-dx sinr -cos.r 解原式 (sinx -cosx) dx=(sinx -cosx)-3dsinr-cosr) (sinx- cosx)3 snx一cosx=M u",3,3+c=2(sinr -cosx)3+C. 例14求 d 2x+3 解原式= x+284x= d +2x+3 2」x2+2x+3 d(x2+2x+3)=alnx2+2x+3|+C. 例15求√(x2+x)e(x2+3x+1)edx 解因[(x2+x)e]=(2x+1)e+(x2+x)e=(x2+3x+1e 所以原式=[(x2+x)e]t[(x2+x)e]dx [(x2+x)e]d[(x2 2 例16求」n+ 解l =[ln(1+x)-ln(1-x)] 原式=1|n1+x dx In dIn 例7求(nx)是(nx+1)dx 解因(xlnx)=lnx+x=lnx+1,故 原式=(nx)号(xnx)dr=(xnx)d(xmx)=2(xnx)号+C arctan 例18求 1 解因 arctan 出=1:(-2=+≠,故 原式= Arctan - arctan I'dx=arctan Id arctan)=-2 aretan I'+O 例1求m(x+y+1)+ 1 解圆[(+分++5-x+=1(+2千-
156 高等数学重点难点100讲 所以原式√mx+1)+5[u(x++1+51d [ln(x+√x+1)+5][n(x+√x2+1+5] 3[n(x+√x+1)+5]2+c 例20 sin 2r acos x+b2sin'x dx(a≠b) R (a2cos2x +b2sin2x)'=a22cosr- sinx)+b22sinrcosx =(62-a2)sin2x 所以原式=1.cosr +b"sin'r)-2d(a+面m) 2 a cos2x +6sin'x+C 有些积分其被积函数分子分母同乘(或除)以一个因子可化为形如[f(x)f(x)dx 的积分 例21求 cos sIn. r cosr( 1+ cosxe"in A cos xe"inr)'=-sinrein cos2xeinr=( cos2x-sinx)e"inr 所以被积函数分子分母同乘以ew,得 原式= cos2x -sinr)e"n dx (cos.re cos.rein(1+core"nr) cos.re"nr(1+cos.re inr) cos re mr= t 1+=ln/, dt 1+4+C=In cos.re sin A 1 cosren+C 例22求 Inx+ 2 Inr(1+rIn.x 解因(xnx)'=lnx+x2lnx.1=lnx(nx+2),所以分子分母同乘以nx,得 原式=xm2x(1+x1mx +xIn'x d( rIn'x)= In n.r aIn +xln 例23求 J(r-Inr) (r-In.x) 解因 n. 1+In.x 所以分子分母同除以x2,得 原式 Inxj adr -In.x d n. nr +C=x- 7.二项代换代换t=x+1及t=x-1称为二项代换 例24求 edx d(x 解原式 dt )2+2
第49讲不定积分的第一换元法 157 arctan √2+c=_1」 arctan 72+c 例25求工d d(x+-) 解原式= (+5)-22Vnx'i 8形如 secede,| esard的积分 secrdr= Inlsecr +tanr|+C, cscrdr= In lcscr - cotx|+C 例26求 dr sinx + cost 解原式= d √2「 SInrcOS+ cosTsIn sinr- cscI 4 In cs + cotx+ 例27 asin+ bcos sdr(a≠b) 设coss 则sing 解原式 d /a-b(sinrcosc -cossinc) d( Lb sin(r+p) /a2=b In csc(r+s)-cot(r-9)+C