140 高等数学重点难点100讲 第44讲曲率与曲率圆 、曲线曲率的计算法 曲线曲率的计算公式因函数的表示方式的不同而不同 (1)如果曲线由直角坐标方程y=f(x)给出,则曲线在点M(x,y)处的曲率为 (1+y2)312 曲线在点M处的曲率k(k≠0)的倒数P=k,叫做曲线在点M处的曲率半径 (2)如果曲线由参数方程 g(t), (a≤t≤B) ly=o(r) 给出,则曲线在t=b所对应的点M(x,y)处的曲率为k=1二x (3)如果曲线由极坐标方程r=r(6),(a≤≤A)给出,则曲率公式为 +2r'2-rr 例1曲线y=lnx上哪一点处的曲率半径最小?求出这个最小曲率半径的值 解(1)求曲率. 2,曲率k= ,x∈(0,+∞) (1+)32 (1+x2)3 (2)求曲率的最大值 √1+x2(1-2x2) 求导数k 2,由k=0,得x (1+x2) (3)求最小面*公lm2)处曲率最大,且最大值为k()= 可见,曲线在M( 23√3 径 由公式可知曲线在M处曲率半径有最小值P 例2求曲线x=ac0s7,y= asin在t=F处的曲率 解 3acos2t·sint,y,=3 asin·cost, 3acost(2sin't-cos't), y= 3asint(2cost- sint 由参数方程的曲率公式k= 得: basinet 例3试证:在双纽线r2=acos20上任一点的曲率半径与对应的极径的倒数成正比 证首先按公式k 2+r)求曲率
第44讲曲率与曲率圆 141 在r2=a2cos20两边关于求导得2rr 2a'sin20, 即r=-a2sin2 在上式两端再关于日求导,得 rr+ 2a2cos26=-2r2,即一rr"=p2+ 而r2+r2=a2cos26+ a‘sin20 20+a'sin220 a 口+2r2+(2+2r2)3(x2+ (r2+r2)3/2 (2+2)22 于是曲率半径为P=1=2·,即P与成正比 曲率圆 1)定义:在曲线凹方的一侧半径为曲率半径P=1,且与过M(x,y)点的切线相切的 圆称为曲率圆 (2)曲率圆圆心坐标(a,B)为 β=y+(1+y2)/y (3)曲率圆的几何意义:由于直线段和圆弧是最简单,最常用的,对于一般的曲线段在 作图时当然希望能用圆弧段来近似代替那么这个圆弧段就是曲率圆的一部分,因为在某点 的曲率圆与在该点处原曲线段有公共的切线(相等的一阶导数)和相同的弯曲程度(相等的 二阶导数),从而有相同的曲率.因此,在讨论某点处较为复杂的曲线段的性质时,如果用该 点处的曲率圆代替的话,将带来很大的方便. 例4求曲线y=tanx在点,1处的曲率圆方程 解(1)求在x,1处的曲率y=secx,y"=2 ec'xtanx,y|-÷=2,y|… 曲率k-(1+y2)2|x:5√5 2)l(1处的曲率径P=k 3)x,1处的曲率圆圆心坐标(a,B)为 =_2(1+4) 10 4 +49 1+ (4) (ξ 102 1处的曲率圆方程为x 9