294 高等数学重点难点100讲 第75讲多元函教微分法(1) 第75讲至第77讲依次讨论偏导数、全微分、方向导数梯度、复合函数及隐函数的微 分法的基本概念与基本计算方法,下面表中内容请读者熟记之 、基本念 表75-1 微分的概念与性质 名称 定义 定义说明 定理与性质 对某一变量的偏导数是将 其他变量固定后按照一元 偏导/ =lim f(x+△x,y)-f(x,y)函数的导数定义的,它是函 Ar 数定 由定义,多元函数四则运算的偏 imf(x,y+△y)=f(x)照定义存在对某一变量有导数与一元函数类似 任意阶偏导但却不连续的 函数 由定义,多元函数的高阶偏 导具有对不同变量求导的 高阶1。+f_+f 先后次序问题,一般情况我 对 (x,y),若 偏导aa-ax…+ay aray aydr 们讨论的是初等函数,其偏 f a2f 数 导效都具有连续性,由此对 连续,那么 ay-苏G更高 各变量求导的次序可以交阶偏导数也可作出类似推理 如果f(x,y)可以微分,那 全若4f(xy)=Ax+BAy+么A=a6=g a偏导数 分 o(√△x2+△y2),则df=A△A 偏导连续→可微连续 +BAy是∫的微分,又称∫可微 存在,又可以记df=如dr 有偏导数 方向导数 若f( )可微,=a =VJ.u=IVfIcos0 ,{Ax,△ cosa, COsP,COSt },则 4, △}与向量l同方向,=a 方向ax2+ay2+2 COSa ,x·x} 导数 6=(4f,) 与梯 梯度是一由多元函数得到的 度 向量,它的各个坐标即是多 6=(4f,l) 梯度gaf=Vf(x,y,x)=元函数对自变量的偏导数,(1)=0时,》最大为|/| 梯度V厂是曲面∫=c的 个切平面的法向,它所指的(2)=2时,=0 方向是函数∫增加最快的方 向 (3)0=x时,义最小为-|vf
第75讲多元函数微分法(1) 295 衰75-2 复合函斂与隐函数的微分法 名称 微分法 z=f(u,v)可微,=g(x,y),v=(x,y)在对应点有偏导数,则z=f(%x,y),y(x, 复合函数y)满足 的偏导a_可f ay a ay 个方程的情况:在P(x0y,z)的某邻域内,Fx,F,F,连续,F,(x,y,2)≠0,且 (x0,y,z)=0,则F(x,y,z)=0在P(x0,y,z)的某邻域内惟一确定了一个具有偏 导的连续函数x=f(x,y),使=f(,y).=-,=F 方程组的情况:F(x,y,,U),G(x,y,u,v)在P0(x0,y,0,v)的某个邻域内有连续偏 隐函数的偏导 导,=3,75≠0F(x,a,)=0G(x,y%,a,0)=0则在P的某邻域内 Y心(口推一确定了具有连续偏导的函数组{=(x,y) F(r, y, u, v) GO 满足: v=v(x, y) v(Io, yo) 并且 a(F,G) au a(F,G) a(u,r) a(F,G a(F,G) ay=-了ay,v) d(u,y) 、偏导数 1.偏导数的计算法 求z=f(x,y)的偏导数并不需要新的方法,因为按定义,多元函数的偏导数是函数对 其中一个变量的变化率所以其计算方法与一元函数求导法相同.求f(x,y)时,只要把y 暂时看成常量而对x求导数,求f(x,y)时,只要把x暂时看作常量而对y求导数即可 例1设f(x,y)=x+(y-1 Arcsin N5,求尸,(x,1) 解法1在f(x,y)中,把y看作常量,对x求导,得 f(x,y)=1+ 1_.1,把y=1代人,得f(x,1)=1 y 解法2在∫(x,y)中,令y=1,得∫(x,1)=x,对x求导,得f(x,1)=1 例2设f(x,y,x)=x2-2y2-3z2-xy-3x-2y-6z,在(1,1,1)处求 +3 az 解把y看作常量对x求导得x=2x-y-8将(1,1)代人得1a 2;类似地,有当=-4y-x-2 1,1.1) 7:=-6z-6,出|a,=-12于是, 在(,1)点处,++x 21 例3求下列函数的偏导数:
296 高等数学重点难点100讲 (1)5=-w4(2)z=sin(xy)+co:(xy);(3)z=(1+xy);(4)=x2 解①3-品+品)=一品,高一品号+出)+1 (2)5=cos(xy).y 2cos(ry)(- sin(ry)).y=y[cos(xy)-sin(2xy)] 由变量xy的对称性有8=x[(xy)-in(2zy) (3) y(1+.y (1+xy)-l(把y看成常数,用幂函数求导公式) a相+2)=ch(+n(1+xy)+y1+ (1 +ry)|In(1+xy)+ry 求的另一方法:把x看作常量,z=(1+xy)是关于y的幂指函数,用“取对数求导 法”在nz=yln(1+xy)两边对y求导数(x看作常量),得 1=1n(1+xy)+y·1十x·于是,g dy ay=(1+ry)In(+Iy)+Iy au 1 dy2 az 例4设z=ln(√x+√y),求证 az a dy 2 az a 示毒 故 注意在一元函数中,y=f(x)的导数a可以看作函数的微分与自变量的微分之商; 故一元函数的导数又可称为微商,在多元函数中ax则是一个整体记号,不能看作分子 azaz 与分母之商,这也是多元函数与一元函数的一个重要区别 2.偏导数的几何意义 在一元函数中,y=f(x)的导数表示曲线y=f(x)上 (x,y)点处切线的斜率,即切线对x轴的斜率,二元函数z f(x,y)表示空间曲面设M(x0,y,f(x0,y)为该曲面上一2(y<几(xy) 点,过M6作平面y=y,与曲面的交线为一曲线,该曲线在平面 y=yo上的方程为z=f(x,y),导数af(x,y)即为偏导 x22 数f(x0,y0),表示该曲线在点M处的切线M0T对x轴的斜 率因此函数对变量x的偏导数仅与这条平面曲线的性态有关 与其他点的情况无关同样,偏导数f(x0,y)的几何意义是曲 图75-1 面被平面x=x所截得的曲线 =f(x,y), 在点M。处的切线MT对y轴的斜率 例5求曲线 4’在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角
第75讲多元函数微分法(1) 297 解点10m.故-,即曲线在245)点处的切线对手轴的倾 角为 3.偏导数与连续性的关系 在一元函数中,若y=f(x)在一点x可导,则它在该点必连续,反之,在一点连续,在该 点并不一定可导.在多元函数中,即使函数在某一点的各个偏导数都存在,也不能保证函数 在该点连续.例如,二元函数 f(x,y)={2+y,x2+y≠0; 在(0,0)点对x的偏导数为(0,0)=linf(x+△,0)-f(0,0) △r0 △x 2=lim0=0;同样有 f,(0,0)=0 尽管f(x,y)在(0,0)点的两个偏导数都存在,但函数在(0,0)点并不连续,这是因为 f:(0,0)存在只能保证P(x,y)沿x轴方向趋近于点(0,0)时,函数值f(x,y)趋近于f(0, 0)=0,同样,f(0,0)存在只能保证P(x,y)沿y轴趋近于点(0,0)时,函数值f(x,y)趋近 于f(0,0)=0但是,当P(x,y)沿任意方向y=kx趋近于(0,0)时 lim f(x, y)=li k k2x21+k2 ≠0(k≠0) yero 从而f(x,y)在点(0,0)不连续 小结求函数f(x,y)在点(x0,y)处的偏导数f(x0,y),P、(x0,y)的方法是:①先 求出偏导数f2(x,y),f,(x,y),然后将(x,y)代入计算便得f:(x。,y),f,(x。,y);②先 求出f(x,y0),f(x,y),再求(x1)、bf(x0y),便得f(x,1)≈d d f(r, yo) 0”y0 dyo ③在分界点处的偏导数,用偏导数定义求 三、高阶偏导数 例6求下列函数的二阶偏导数:(1)z= arctan y,(2)x=y. 1 解(1) 1+()2 ay 1+(2)2 ax2-(x2+y2) ay2(x2+y2)2 az az ay x(x-1)y2 day aIny +y. y-(olny+1) 例7设z=e(cosy+ siny),求(0,2)点处的二阶偏导数 ar e(cosy t rsiny)+esiny=e (cosy +siny +rsiny)
298 高等数学重点难点100讲 az =e(- siny cosy), dz e(cosy +siny xsiny)+e'siny =e(cosy+ 2siny rsiny) =e(- cosy -rainy), ray=e(- siny+ cosy+ cosy) dz a z 于是, drdy 例8验证:r= 孑r,子r 十y+z满足ax2a a 2x 证 ar d-2√x+y+x 由函数关于自变量的对称性得= 因此子 ar,子rr2 +-r 四、全微分 依微分定义df(x,y)=fdx+fdy知,求f(x,y)的全微分,只计算偏导数f 即可. 例9求下列函数的全微分:(1)z=e2;(2)=x 解()走=-2“=.=1÷,d一x+ e4(=dx -dv (2) ar yx. ay =prInz, 2=yrInt 所以, du= yzry-ldr t zr lordy yrylnxdz 例10设f(x,y)= lysin√r+y,求df(0,1 解 arcsin √x2+y +mycos (x2+y2)3」 yiN G+ y>ricos vat. 由变量x,y的对称性有 女x2+y(x2+y) )3/2cOs 于是 inl, (0,1 0, df(,1)=sinldx (0,1) 例11求证:当1<1,y<1时,有acan+2xy~x+y 证令∫(x,y)= arctan +xy则f(o,0)=0, 1+(x+)2:t-(x+ (1+xy (1+xy)2+(x+y) x 由变量x3的对称性:有门,(x,y)=a+xy+a+y于是0,0)=10.0) ·由(x,)~0,0)+,(0x+,(00即得acn+2~x
第75讲多元函数微分法(1) 299 注意二元函数x=f(x,y)在(x0,y)处的全微分dz=dz+冬 a dy dy的 0) 几何意义是:曲面z=f(x,y)在点(x0,y)处的切平面,当x有增量Ax=dx,y有增量4 =dy时,切平面竖坐标的增量.当|Ax|,4y|很小时,它与曲面竖坐标的增量4z之差4z dz是p=√(ax)2+(厶y)2的高阶无穷小,因而常用dz近似代替4z,在几何上就是在切点 附近用切平面近似代替曲面,本例就是在切点(0,0)附近(x<1,y|<1)用切平面 x+y近似代替曲面z= arctan 例12设f(x,y)在(0,0)点的某个邻域内有定义,且fx(0,0)=f,(0,0)=0,求证: f(x,y)在(0,0)点处可微分的充要条件是/mf(x,y)-f(0,0)=0 」 4z=f(0+△x,0+△y)-f(0,0)=f(△x,△y)-f(0,0), dz=f:(0,0)△x+f,(0,0)△y=0, 于是 imx=dz=limf(△x,△y)-f(0,0) P A√(△x)2+(△y)2 =limf(x,y)=f(0,0)=0, 2+ 故∫(x,y)在点(0,0)处可微.反之,若f(x,y)在点(0,0)处可微,△x-dz是比P高阶的无 穷小,故上面极限为0 0 例13已知f(x,y)={√x2+y2 证明:f(x,y)在点(0,0)处两个 0 x2+ 偏导数都存在,但不可微 证f(0,0)=limf(0+△x,0)-f(0,0)=lmn0-0=1m△x=0,同理, △x-0 f,(0,0)=0,所以f(x,y)在点(0,0)的两个偏导数都存在 在(0,0)处函数的增量为 △f(0,0)=f(0+△x,0+△y)-f(0,0)=x·ay, (Δx)2+(△y) 于是 lm(0,0)-[f(0,0)△x+f(0,0)△ △x·△ slim√(△x)+(△y) P--O x0(△x)2+(△ Ay-O 当点P(△x,△y)沿直线y=kx趋近于(0,0)时,有 lim k(△x)2 k (△x)2+(△y) △y=h△c-0 十k2)(△x)2 于是,m2f-00+00)4y不存在当然不趋近于0,即△f-d不能是比 P高阶的无穷小,故f(x,y)在(0,0)点不可微 注意用全微分定义验证一个可导函数(所以偏导数存在)的可微性只需检验: lim Ax-f(o,yo)4-f