第100讲微分方程的应用 451 第100讲撒分方程的应用 、在几何中的应用 微分方程在几何中的应用,主要是利用导数的几何意义即表示曲线y=f(x)上点 (x,y)处的切线斜率;定积分的几何意义,即f(t)d表示曲边梯形的面积(当f(x)≥0 时);√n+(y)dx表示弧长等几何意义,建立相应的微分方程,从而求得曲线方程y= f(x). 例1已知某平面曲线过点(1,1),如果把曲线上任一点P处的切线与y轴的交点记作 Q,则以PQ为直径所做的圆都经过点M(1,0),求此曲线方程. 解设所求曲线为y=f(x),则该曲线在点P(x,y)处的切线方程为 (X 令X=0,则y=y-xy2,即该切线与y轴的交点Q的坐标为(0,y-xy) 设N点为切线段PQ的中点,易见N点的坐标为(,y-xy),从而线段QN的长度 QN|=√(y+(-y)2=x+(,线段MN的长度MN|= (2-1)2+(y-xy) 由题意:以PQ为直径的圆,都经过点M(1,0)故QN|=|MN|,即 2x√1+(y)= 两端平方,化简可得y=1y2-1+1,因为曲线过点(1,1),故y1= 注意方程yy=y2-1+,是一个一阶非线性微分方程,不易直接求解,但是,若令 y2=a,则可化为2n=x“-1+x,即"-2=x-2这就是一个容易求解的一阶 线性微分方程,解之可得,=Cx2+2x-1. 从而方程yy=xy2-1+1的通解为y=C+2x-1,代入初值y-1=1,得C =0.于是,所求曲线方程为y2=2x-1 、在物理方面的应用 微分方程在物理中的应用,主要是利用导数的物理含义,即表示位移函数为s=s(t) 的物体在时刻的运动速度,正表示加速度,根据物体的受力情况,由牛顿第二运动定理F 建立相应的微分方程,从而求得物体运动的规律
452 高等数学重点难点100讲 例2有一容积为10800m3的车间,空气中含有0.12%的CO2,为保证工人身体健康, 用一台通风能力为1500m/min的鼓风机通风,通入的新鲜空气中含有0.04%的CO2,假定 新鲜空气通入后和原车间的空气混合均匀后排出.问鼓风机开动10min后,车间中CO2的 百分比降到多少? 解本题可以先求出鼓风机开动10min后车间中CO2的含量,然后再求车间中CO2的 百分比.求解过程分为三步 (1)科学抽象,建立模型 设鼓风机开动后t时刻车间含CO2为Q(m3).显然,Q是t的连续函数.当时间t有微小 增量dt(dr>0)时,车间含有的CO2也有相应的微小增量△Q=Q(t+M)-Q(t)(△Q< 0).在时间间隔[t,t+dt]上,从车间流出的空气为1500d(m3).由于Q(t)是连续的,d很 小,所以在[t,t+dt]上车间中CO2的含量可近似看作不变,因而在[t,t+d]上车间含有 CO2的百分比可近似看作不变,可用t时刻CO2的百分比作为[t,t+d]上CO2的百分比为 小只.109,而在[t+d上流出的CO2的近似值为15001080(m3),流入的CO2为 0800100 1500dt·0.04%(m3),于是,得△Q的近似值dQ △Q≈dQ=1500·0.04%-150·1080(舍去了dt的高阶无穷小), 由上式得 dQ 108-2 180 (100.1) (100.1)式即为本问题的数学模型 (2)推理运算,数学求解 由题设知,初始条件为 Q|=10800×0.12%=12.96 (100.2) 方程(100.1)分离变量得dr= 9180dQ,积分得: 108-25Q 25Q=108-Ce-s, (100.3) 把式(100.2)代人式(100.3)得:C=-216,于是 (108+21 (100.4) 把t=10代人(0.4得Q=6.45(m),6856≈0.06%,即鼓风机开动1mm后车间中 CO2的百分比降到约0.06% (3)合理解释, 由(100式知|mQ)-25,百分比(25101080.04%,这等于通人的新鲜空 气中CO2的含量,说明随着通风时间段t的延长,车间里空气的质量便越理想. 事实上,数学模型(100.1)是一种极为重要的数学模型,在自然界中许多事物的发展都 遵循着这一数学模型.如铀的衰变(铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减:M Me)、降落伞下落速度(下落速度与时间的关系v="E (1-e~·),参考高数教材下册第 12章有关内容同济大学编)等都遵循着类似于(1)式这一数学模型 例3设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m的物体,平衡位置时弹簧伸 长a如果将物体向下拉开一段距离b,然后放开,求物体的运动规律(不计空气阻力) 解取x轴铅直向下,取物体的平衡位置为坐标原点(图100-1)
第100讲微分方程的应用 453 设物体在运动过程中某一时刻t离开平衡位置为x(t),使物 体运动的力就是使物体回到平衡位置的弹簧恢复力∫.根据虎克 定律f=-kx(其中常数k为弹性系数,负号表示弹簧恢复力的 方向与物体位移的方向相反),由题设知k=mE,由牛顿第二定 a 律得 d kx,即 d2x⊥mg 也就是 d2 x=0 图100-1 上式即为本题的数学模型 该方程是二阶常系数线性齐次方程,其特征方程为r2+E=0,特征根为n1 g;,从而方程的通解为x=C1s4+Csin√Et,由初始条件 l dt 0 得C1=b,C2=0,于是本题的解为x=kos√t,即为所求的物体的运动规律 本题所建立的数学模型也是一种极为重要的数学模型.我们在教材微分方程一章的学 习中曾建立过类似的数学式 d 被称为无阻尼自由振动的微分方程 例4一条光滑的细链ACB,它的一部分AC位于倾角a= 30°的光滑斜面上,另一部分CB跨越斜面上面的边缘C,悬挂在 空中(如图100-2所示).当AC的长为6m,CB的长为4m时,细链 开始下滑,求细链完全脱离斜面所需的时间 B 解设细链在下滑时,时刻链的A端沿斜面上升到A',B 端下落到B.令B=x,则CB=4+x,这时AC=6-x设∠ B 细链单位长的重量为pg,那么链A'C段的重量为pg(6-x).这 重力铅直向下,它沿斜面的分力为p(6-x)sina=pg(6 图100-2 x),这个分力阻止细链下滑,悬挂部分CB′段的重量为pg(4+x),所以,使细链下落的力 28(6 由牛顿第二运动定律f=ma得 d r pg(4+x)-2Pg(6-x)=p(6+4)dr 化简得 ax-3x=5(其中,g=9.8m/s2) 若近似取g=10,可得 1.初始条件为x(0)=0,x(0)=0,这是一个二阶
454 高等数学重点难点100讲 常系数非齐次微分方程.与之相应的齐次方程的特征方程为r2-2=0,特征根为r=士 齐次方程的通解为x=C;eV+cey,又易见, x=1,有一特解x ,从而,其通解为x=C1ey+C2e 由定解条件可知C=C=3,于是x=3+3eV-是 由于当x=6时,细链完全脱离斜面,由 3n2 1) 可得ch√2=10,查双曲余弦函数表得√2=3从而t=√6=245(5)故细链完全 脱离斜面约需2.45s 三、求幂级数的和函数 有时,为了求一个幂级数的和函数,可通过对幂级数逐项求导及四则运算,建立一个关 于幂级数和函数的微分方程,然后通过求解该微分方程,即可求得幂级数的和函数 例5求级数∑(2)的和函数 解易见该幂级数的收敛域为(一∞,+∞).设该幂级数的和函数为s(x),即 s(x)=1+,++ (2n)! 2n-1 易见 s'(x)=x+6+2+ 上两式相加可得s(x)+s(x)=1+x++了十…++…, 由此可得到一个一阶线性微分方程 5(x)+s(x)=e (100.5) 其初始条件为 解这个微分方程,可给(100.5)式两边乘以e得, es(x)+es(x)=e2,即(e‘s(x)y=e2, 两边积分得e's(x)=edr+C=e2+C,或s(x) Ce 由(100.6)式知1=5(0)=3+C于是(x)=(e+e)=chx(-∞<x<+∞) 例6设幂级数∑ax的系数满足如下关系式: an-2-n(n-1)a,=0(n=2,3,4…),且ao=4,a1= 试求幂级数∑anx的和函数s(x) 解由 0,知 (n-1)
第100讲微分方程的应用 455 n(n 0 此即s(x)-s”(x)=0,这是一个二阶常系数齐次线性微分方程 s,(x)-5(x)=0, 其特征方程为r2-1=0特征根r=士1,通解为s(x)=C1e+C2e- 又易见初始条件为 5(0)=a0=4 4=C1+C2 从而 s'(0)=a1 1=C1-C 得 2 故s(x) 2e+3 5 e
