西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）一元函数微积分（导数与微分）第二节 初等函数微分法

初等函数微分法 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出 一些较简单的函数的导数(常函数、幂函数、 正、余弦函数、指数函数、对数函数),对于 比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来 建立求导数的基本公式和基本法则,借助于这 些公式和法则就能比较方便地求出常见的函 数初等函数的导数,从而是初等函数的求 导问题系统化,简单化

初等函数微分法 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出 一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、 正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于 比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来 建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这 些公式和法则就能比较方便地求出常见的函 数——初等函数的导数，从而是初等函数的求 导问题系统化，简单化

和、差、积、商的求导法则 定理如果函数u(x),v(x)在点x处可导则它 们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处也 可导,并且 (1)[u(x)±v(x)Y=u(x)±v(x); (2)[u(x)…v(x)y=u'(x)v(x)+u(x)y(x); uox (3) )_(x)w(x)-u(x)y(x) ((x)≠0) ν"(x

一、和、差、积、商的求导法则 定理 可导 并且 们的和、差、积、商 分母不为零 在点 处也 如果函数 在点 处可导 则它 , ( ) ( ), ( ) , x u x v x x ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) (3)[ (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); 2   −   =   =  +    =    v x v x u x v x u x v x v x u x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x

证(1)、(2)略. 证(3)设∫(x) uox ,(v(x)≠0) v() f∫"( f(x+h-f(r) h→>0 h u(x+h)u(x) lim (x+h) v(x) h im u(r+h)v(x)-u(x)v(r+h h→>0 v(+hv(x)h

证(1)、(2)略. 证(3) , ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) = v x  v x u x 设 f x h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h v x u x v x h u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 − + + = → v x h v x h u x h v x u x v x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − + = →

=lim lu(r+h)-u(x)v(x)-u(x)Iv(+h)-v(x) h→>0 (x+)v(r )h u(x+h)-u(r) v(x+h-v(x) .v((x). =lim h→0 v(x+hv(r) u(r)v(x-u(rv(x v(x)I .∫(x)在x处可导

v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h + + −  −  + − = → 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) v x u x v x − u x v x =  f (x)在x处可导

注 ①(1)即是和、差的导数等于导数的和、差 (2)即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数 (3)即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数,再除以分母 的平方 ②(1)可推广到任意有限个可导函数的情形 ∑f(x)=∑f(x i=1 (2)也可推广到任意有限个函数的情形

注 ① （1）即是和、差的导数等于导数的和、差 （2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数 （3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方 ② （1）可推广到任意有限个可导函数的情形 [ ( )] ( ); 1 1   = =  =  n i i n i fi x f x ③ （2）也可推广到任意有限个函数的情形

(uvw)=u'ww+uv'w+uvw If(x)=fx)1(x)…fn(x +…+f1(x)f2(x)…fn(x) ∑If(x)A(x i=1k=1 ≠ ④作为(2)的特殊情况 若ν=c,则(cu)=c或|f(x=Cf(x) 即常数因子可以提到导数符号的外面 ∑4(x)=∑kf(x)

(uvw) = uvw + uvw + uvw ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1   =  = = =  + +   =  n i n k i k i k n n n i i f x f x f x f x f x f x f x f x f x    ④ 作为（2）的特殊情况 若v = c，则(cu) = cu 或 [Cf (x)] = Cf (x); 即常数因子可以提到导数符号的外面 [ ( )] ( ) 1 1 k f x k f x n i i i i n i  i  = =  = 

即线性组合的导数等于导数的线性组合 说明求导是一线性运算 ⑤作为(3)的一种特殊情况, 若u=1则( 二、例题分析 例1求y=x3-2x2+sinx的导数 解y’=3x2-4x+cosx

即线性组合的导数等于导数的线性组合 ——说明求导是一线性运算 ⑤作为（3）的一种特殊情况， 2 ) 1 1, ( v v v u  若 = 则  = − 二、例题分析 例1 2 sin . 求 y = x 3 − x 2 + x的导数 解 2 y = 3x − 4x + cos x

例2求y=sin2xlmx的导数 解y=2sinx: cosr.Inx y=2c0sx· cos x Inx+2sinx·(-sinx)nx +2sin x cos x =2 coS 2xInx+sin 2x 例3求y=tanx的导数 sIn d 解 tanx cos d

例 2 求 y = sin 2x  ln x的导数 . 解  y = 2sin x  cos x  ln x y = 2cos x  cos x  ln x + 2sin x (− sin x) ln x x x x 1 + 2sin  cos  sin 2 . 1 2cos 2 ln x x = x x + 例 3 求 y = tan x的导数 . 解 ) cos sin  = (tan ) = (  xx y x

(sin x)'cos x -sin x(cos x) cos cosx+sin x sec d cos cos 即(tanx)=sec2x 同理可得(cotx)=-csc2x 例4y=secx求y 解 (cos x sinx 1 Secy·tanx cos x cos cosx cosx 同理可得 (cscx)=-cscxcotx

x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = (tan ) sec . 2 即 x  = x 同理可得 (cot ) csc . 2 x  = − x 例4 y = sec x 求y 解         = x y cos 1 x x 2 cos (cos ) = − x x x x x sec tan cos 1 cos sin =  =  同理可得 (cscx) = −csc x  cot x

x0时 ∫"(x)=lim In(1+x+h)-In(1+x) h-→>0 h limIn(1+ h→>0 h 1+x 1+x

例 5 , ( ). ln(1 ), 0 , 0 ( ) f x x x x x f x   +  设 = 求 解 当 x  0 时 , f  ( x ) = 1 , 当 x  0 时 , h x h x f x h ln(1 ) ln(1 ) ( ) lim0 + + − +  = → ) 1 ln( 1 1 lim0 x h h h + = + → , 1 1+ x =