函数的极值及其求法 由单调性的判定法则,结合函数的图形可知, 曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”,函 数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点 处的函数值。函数的这种性态以及这种点,无论 在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义, 值得我们作一般性的讨论
函数的极值及其求法 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知， 曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函 数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点 处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论 在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义， 值得我们作一般性的讨论
、函数极值的定义 y=f(r) x10
一、函数极值的定义 o x y a b y = f (x) x1 2 x x3 4 x 5 x 6 x o x y o x y 0 x 0 x
定义设函数f(x)在区间a,b内有定义,x是 (a,b内的一个点 如果存在着点x的一个邻域对于这邻域内的 任何点x除了点x外,f(x)f(x0)均成立就称 f(x0)是函数f(x)的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点
二、函数极值的求法 定理1(必要条件)设f(x)在点x处具有导数,且 在x处取得极值,那末必定f(x0)=0 定义使导数为零的点(即方程∫(x)=0的实根川叫 做函数f(x)的驻点 注意:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点 例如,y=x3,yx=0=0,但x=0不是极值点
二、函数极值的求法 设 f (x)在点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 注意: . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但x = 0不是极值点
注①这个结论又称为 Ferma定理 ②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值,此时导数不改变符号 ③不可导点也可能是极值点 可疑极值点:驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点,还须进一步 判明。由单调性判定法则知,若可疑极值点的左、 右两侧邻近,导数分别保持一定的符号,则问题 即可得到解决
注 ①这个结论又称为Fermat定理 ②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号 ③不可导点也可能是极值点 可疑极值点：驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、 右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题 即可得到解决
定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(xo-8,x),有f(x)>0;而x∈(x0,x0+δ) 有∫(x)0,则f(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-8,x0)及x∈(x0,x+)时,∫(x) 符号相同,则f(x)在x处无极值 (是极值点情形)
(1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则f (x)在x0处无极值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形)
(不是极值点情形) 求极值的步骤 (1)求导数f(x); (2)求驻点,即方程∫(x)=0的根; (3)检查f(x)在驻点左右的正负号判断极值点; (4)求极值
x yo x yo 0 x 0 x + − − + 求极值的步骤 : (1) 求导数 f (x); (2)求驻点，即方程 f (x) = 0的根; (3) 检查 f (x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值. (不是极值点情形 )
例1求出函数∫(x)=x3-3x2-9x+5的极值 解∫(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) 令∫(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3.列表讨论 x|(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞) ∫(x)+ 0 极大值 极 f(x)个 小 个 值 极大值f(-1)=10,极小值f(3)=-22
例 1 解 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x3 − x2 − x + 的极值 ( ) 3 6 9 2 f x = x − x − 令 f (x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x (− , − 1 ) − 1 ( − 1 , 3 ) 3 (3,+ ) f ( x ) f ( x ) + − + 0 0 极大值 极小值 极大值 f ( − 1 ) = 10 , 极小值 f (3) = −22. = 3(x + 1)( x − 3)
f(x)=x3-3x2-9x+5图形如下 M -10 -15
( ) 3 9 5 3 2 f x = x − x − x + M m 图形如下
定理3(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数, 且f(x)=0,f(x0)≠0,那末 (1)当f(x0)0时,函数f(x)在x处取得极小值 证(1):"(x)=imnf(x+A)-f(x0)=0, 当△x>0时,有f(x0+△x)<f(x)=0, 所以,函数f(x)在x处取得极大值
设 f (x)在 0 x 处具有二阶导数, 且 ( ) 0 0 ' f x = , ( ) 0 0 '' f x , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0 处取得极大值; (2)当 ( ) 0 0 '' f x 时, 函数 f (x)在 0 x 处取得极小值. 定理3(第二充分条件) 证 (1) x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0, 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f = 0, 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f = 0, 所以,函数 f (x)在x0处取得极大值