第四节平面曲线的弧长 平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 五、小结
第四节 平面曲线的弧长 ◼ 一、平面曲线弧长的概念 ◼ 二、直角坐标情形 ◼ 三、参数方程情形 ◼ 四、极坐标情形 ◼ 五、小结
设A、B是曲线弧上的两 线瓢长的概念 个端点,在弧上插入分点 M B=M A=M M 09119 i5 9n-1 M=B n 并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长∑M11M1的极限存在,则称此极限为 曲线弧AB的弧长
o x y A = M0 M1 B = Mn M2 设 Mn−1 A、B是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1 1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长. 一、平面曲线弧长的概念
一设出委狐坐请形 (a≤x≤b),其中f(x) 在[a,b上有一阶连续导数 取积分变量为,在a,b 上任取小区间[x,x+x 0 a xx+dx b 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长dx)2+(小)2=1+y2x 弧长元素=+p弧长s=1+y2k
设曲线弧为y = f (x) (a x b)，其中 f (x) 在[a,b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ，在[a,b] 上任取小区间[x, x + dx]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+ 弧长元素 ds y dx 2 = 1+ 弧长 1 . 2 s y dx b a = + 二、直角坐标情形
3 例1计算曲线y=x2上相应从到b的一段 3 弧的长度 解∵y=x ∴d=√1+(x2)=√1+x 所求弧长为 I(1+b)2-(1
例 1 计算曲线 2 3 3 2 y = x 上相应于x 从a 到b 的一段 弧的长度. 解 , 2 1 y = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1 = + = 1+ xdx, 所求弧长为 s xdx b a = 1+ [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a a b
例2计算曲线y= %nmn60的弧长(0sx≤mm) 解y =n sin SIn n s=、1+ 2 nTC tsin =dx x= nt ri √1+sint.ndt 0 2 SIn cos -+2sin-cos-dt 22 T n sin -+cOS =4n 0 2
例 2 计算曲线y n d n x = 0 sin 的弧长(0 x n). 解 n n x y n 1 = sin sin , n x = s y dx b a = + 2 1 dx n n x = + 0 1 sin x = nt + t ndt 0 1 sin dt t t t t n + + = 0 2 2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 sin dt t t n = + 0 2 cos 2 sin = 4n
、参数方程情形 曲线弧为 x=o(t) ,(a≤t≤B) y=y() 其中q(t),v(t)在a,6上具有连续导数 d=√dk)2+()2=|g2(t)+v"2()(d)2 p(t)+y(t)dt 弧长s=p2(t)+v"2()d
曲线弧为 , ( ) ( ) = = y t x t ( t ) 其中(t), (t)在[, ]上具有连续导数. 2 2 ds = (dx) + (dy) 2 2 2 = [ (t) + (t)](dt) (t) (t)dt 2 2 = + 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s t t dt = + 三、参数方程情形
2 例3求星形线x3+y3=am3(a>0的全长 x=acos t 解星形线的参数方程为 (0≤t≤2) y=asin t 根据对称性S=41第一象限部分的弧长 AJa()+(v)dt=4 3asint cos tdt 6a
例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)的全长. 解 星形线的参数方程为 = = y a t x a t 3 3 sin cos (0 t 2) 根据对称性 4 1 s = s (x ) ( y ) dt = + 2 0 2 2 4 a t tdt = 2 0 4 3 sin cos = 6a. 第一象限部分的弧长
例4证明正弦线y= asind(0≤x≤2m)的弧长 x= cos t 等于椭圆 (0≤t≤2丌)的周长 y=√1+a2sint 证设正弦线的弧长等于s1 2 2兀 1+ydx √1+a2cos2xd 0 2√1+a2cos2xx, 设椭圆的周长为2
例 4 证明正弦线y = a sin x (0 x 2)的弧长 等于椭圆 = + = y a t x t 1 sin cos 2 (0 t 2)的周长. 证 设正弦线的弧长等于 1 s s y dx = + 2 0 2 1 1 a xdx = + 2 0 2 2 1 cos 设椭圆的周长为 2 s 2 1 cos , 0 2 2 a xdx = +
2兀 x+ 根据椭圆的对称性知 S2 (sin扩)+(1+a人cos 0 2*V1+a cos2tdt 21v1+acos xd=S, 故原结论成立
( ) ( ) , 2 0 2 2 2 s x y dt = + 根据椭圆的对称性知 s ( t) ( a )( t) dt = + + 0 2 2 2 2 2 sin 1 cos a xdx = + 0 2 2 2 1 cos , 1 = s 故原结论成立. a tdt = + 0 2 2 2 1 cos
四、极坐标情形 曲线弧为r=r()(a≤≤B) 其中p(6)在a,B上具有连续导数 x=ro)cos 6 ly=r(e)sing (a≤6≤B) ds=dx)2+(dy)2=r(0)+r2()0, 弧长S=√r2()+r2(O)d0
曲线弧为 r = r( ) ( ) 其中( )在[, ]上具有连续导数. = = ( )sin ( )cos y r x r ( ) 2 2 ds = (dx) + (dy) ( ) ( ) , 2 2 = r + r d 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s r r d = + 四、极坐标情形
