第二节可分离变量的 微分方程 可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结
第二节 可分离变量的 微分方程 ◼ 一、可分离变量的微分方程 ◼ 二、典型例题 ◼ 三、小结
可分离变量的微分方程 g(y)=f(x)t可分离变量的微分方程 例如中 2x 25→ y5小=2x2x, 解法设函数g(y)和f(x)是连续的, g()dy=f(x)dx 分离变量法 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数,G(y)=F(x)+C为微分方程的解
一、可分离变量的微分方程 g( y)dy = f (x)dx 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和f (x) 的原函 数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解. 分离变量法
典型例题 例1求解微分方程=2xy的通解 解分离变量=2xkx, 两端积分 rdx In y=x+Cl y=Ce为所求通解
例1 求解微分方程 2xy的通解. dx dy = 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , = xdx y dy 1 2 ln y = x + C . 2 y = Ce x 为所求通解 二、典型例题
例2求方程∫(xy)ykx+g(xy)xdy=0通解 解令=0,则d=xz!+ydx, f(uydx+g(ux ydx lf(u)()-dr+gudu=0. x ulf(u-gl du=0, 通解为Imx|+ g(u) du= c uf(u)g(u)
例2 求方程 f (xy) ydx + g(xy)xdy = 0 通解. 令u = xy, 则du = xdy + ydx, ( ) ( ) = 0, − + x du ydx f u ydx g u x [ ( ) − ( )] dx + g(u)du = 0, x u f u g u 0, [ ( ) ( )] ( ) = − + du u f u g u g u x dx . [ ( ) ( )] ( ) ln | | du C u f u g u g u x = − + 通解为 解
例3衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成 正比,已知M1=0=M,求衰变过程中铀含量M( 随时间t变化的规律 解衰变速度 dM 由题设条件 dM M(A>0衰变系数) dM dt Mdt ∫n=-A,lmM=X+lnC,即M=Ce 代入MA=0=M得M0=Ce"=C, M=Mo 衰变规律
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知M t=0 = M0 ,求衰变过程中铀含量M(t) 随时间t 变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M ( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − , = − dt M dM 代入M t=0 = M0 lnM = −t + lnC, , t M Ce− 即 = 0 得 M0 = Ce = C, t M M e − = 0 衰变规律
例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小 孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始 时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律 解由力学知识得水从孔口流 出的流量为 d Q==0.62S√2gh, dt 流量系数孔口截面面积重力加速度
例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为 0.62 S 2gh, dt dV Q = = 流量系数 孔口截面面积 重力加速度
h ∴S=1cm dV=0.62、2ghl,(1) 100cm 设在微小的时间间隔[,t+l,o 水面的高度由h降至h+h,则=-πmh, r=√1002-(100-h)2=√200h-h2 d=-(200h-h)dh, 比较(1)和(2)得:-7(200h-h2)h=0.62√2ghd
100 cm h o r h h+ dh dV = 0.62 2ghdt, (1) 设在微小的时间间隔 [t, t + dt], 水面的高度由h降至 h+ dh , , 2 则dV = −r dh 100 (100 ) 200 , 2 2 2 r = − − h = h − h (200 ) , (2) 2 dV = − h− h dh 比较(1)和(2)得: (200h h )dh 2 − − = 0.62 2ghdt, S = 1 cm , 2
7(200h-h2)h=0.62√2ghd, 即为未知函数的微分方程 T dt (200h-√h)dWh 062√2g 400 h 0622g3 h)+C, 5 hl==100,∴C ×10 0622g15 所求规律为t= T 4652@(7×10°-103h23+3h)
(200h h )dh 2 − − = 0.62 2ghdt, 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 (200 ) , 0.62 2 3 h h dh g dt − = − ) , 5 2 3 400 ( 0.62 2 3 5 h h C g t − + = − | 100, h t=0= 10 , 15 14 0.62 2 5 = g C (7 10 10 3 ). 4.65 2 5 3 3 5 h h g t − + 所求规律为 =
例5某车间体积为12000立方米,开始时空气中 含有0.1%的CO2,为了降低车间内空气中CO 的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含0.03%的CO2的新鲜空气,同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分 钟后,车间内CO,的百分比降低到多少? 解设鼓风机开动后t时刻CO2的含量为x() 在[t,t+d内, CO,的通入量=2000·dt.0.03, CO,的排出量=2000.d·x(t)
解 例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 1% CO2 0. CO2 CO2 CO2 0.03% 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2 的含量为 x(t)% 在 [t, t + dt] 内, CO2 的通入量 CO2 的排出量 = 2000 dt 0.03, = 2000 dt x(t)
CO,的改变量=CO,的通入量-CO,的排出量 12000dx=2000.d.0.03-2000·dtx(t), d x 1 (x-0.03),→x=0.03+Ce6, x|=0=0.1,C=0.07,→x=0.03+0.07e6, x=6=0.030.07e≈0.056, 6分钟后,车间内CO,的百分比降低到0.056%
CO2 的改变量 = CO2 的通入量 −CO2 的排出量 12000dx = 2000 dt 0.03− 2000 dt x(t), ( 0.03), 6 1 = − x − dt dx 0.03 , 6 1 t x Ce − = + | 0.1, x t=0= C = 0.07, 0.03 0.07 , 6 1 t x e − = + | 0.03 0.07 0.056, 1 6= + − = x e t 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 0.056%. CO2
