第九节一阶常系数齐次 线性微分方程 定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 三、n阶常系数齐次线性方程解法 四、小结思考题
第九节 二阶常系数齐次 线性微分方程 ◼ 一、定义 ◼ 二、二阶常系数齐次线性方程解法 ◼ 三、n 阶常系数齐次线性方程解法 ◼ 四、小结 思考题
定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 y+Py++P-y+Py=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 +py+ay=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 +py+y=f(x)
一、定义 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y Pn y Pn y f x n n + + + − + = − n阶常系数线性微分方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二阶常系数齐次线性方程解法 y+py+ay=0 特征方程法 设y=e",将其代入上方程,得 (r2+pr+q)e"=0 e"≠0, 故有r2+pr+q=0 特征根2s-D±p2-4 2
二、二阶常系数齐次线性方程解法 -----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r − − 特征根 = y + py + qy = 0
有两个不相等的实根△>0) 特征根为=-p+、D2-4,=-D-、p2-4 2 2 两个线性无关的特解 2 得齐次方程的通解为y=C1e+C2e;
有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e ( 0) 特征根为
有两个相等的实根(△=0 特征根为r,=r,= x 特解为y1=e 2 设另一特解为y2=u(x)l1, 将y2’y2,y代入原方程并化简, n"+(2r+p)l!+(r2+pr1+q)u=0, 知u"=0,取a(x)=x n 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e
有两个相等的实根 , 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − ( = 0) 一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 特征根为
有一对共轭复根(△<0 特征根为 个=c+ jB jB (a+jB)x (a-jB) y2 重新组合=(y1+y2)=ecos负, 2 V2=:(n1-y2)=ea sin Bx, 得齐次方程的通解为 y=e(C cos Bx+C? sin Bx)
有一对共轭复根 , r1 = + j , r2 = − j , ( ) 1 j x y e + = , ( ) 2 j x y e − = ( 0) 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e cos x, x = ( ) 2 1 2 1 2 y y j y = − e sin x, x = 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). y e C1 x C2 x x = + 特征根为
定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法 例1求方程y+4y+4y=0的通解 解特征方程为r2+4r+4=0, 解得F1=n2=-2, 故所求通解为y=(C1+C2x)e2x
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 求方程 y + 4 y + 4 y = 0的通解. 解 特征方程为 4 4 0 , 2 r + r + = 解得 2 , r1 = r2 = − 故所求通解为 ( ) . 2 1 2 x y C C x e − = + 例1
例2求方程y"+2y+5y=0的通解 解特征方程为r2+2r+5=0, 解得 1,2 1±2j, 故所求通解为 y=e(C1 cos 2x +C2 sin 2x)
求方程 y + 2 y + 5 y = 0的通解. 解 特征方程为 2 5 0 , 2 r + r + = 解得 1 2 , 1 2 r ， = − j 故所求通解为 ( cos 2 sin 2 ). y e C1 x C2 x x = + − 例2
n阶常系数齐次线性方程解法 y+Py+.+Py+P,y=0 特征方程为r+Pr-+…+Pnr+Pn=0 特征方程的根通解中的对应项 若是k重根r(+C1x+…+Ck1x2)e 若是k重共轭 I(Co+Cx+.+Ckr)cos Bx 复根α土j +(Do+dx+.+ Dkr)sin Bxle
三、n阶常系数齐次线性方程解法 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + − + = − y P y P y P y n n n n 特征方程为 0 1 1 + 1 + + − + = − n n n n r P r P r P 特征方程的根 通解中的对应项 若是k重根r k rx k (C C x C x )e 1 0 1 1 − + ++ − j k 复根 若是 重共轭 k x k k k D D x D x x e C C x C x x − − − − + + + + + + + ( )sin ] [( )cos 1 0 1 1 1 0 1 1
注意 n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项,且每一项各一个 任意常数 y=C1y1+C2y2+…+Cnyn
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数. n n y = C y + C y ++ C y 1 1 2 2