一花大学 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第一学期 课程名称:数分分析(1)考试性质:考试试卷类型: 考试班级:数学,信息考试方法:闭卷命题教师 解答(共12分) 1.解:函数的定义域为:{x(2x+)>04-3x≥0} (2分) 函数定义域为:{x-1/20,令 2n+12|2(2n+1)2(2n+1)2n+1<E--(2分) 取N --(3分) 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200 /200 学年第一学期 课程名称：数分分析（1） 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级：数学，信息 考试方法：闭卷 命题教师： 一、解答(共 12 分) 1． 解：函数的定义域为：{ (2 1) 0, 4 3 0} xx x + > -------------(2 分) 函数定义域为：{ 1/ 2 4 / 3} x x 0 ,令 33 3 3 3 2 1 2 2(2 1) 2(2 1) 2 1 n n n nn = = ,取 3 1 [ ] 2 2 N = --------(3 分)
3n3 从而,VE>0,存在N=[一-],Vn>N时有 1数列单增 所以数列收敛 (4分) 设lima4=a,则有a=√2a,所以极限a= 、解下列各题(共10分) 1解:由连续开拓的定义:f(x)能够连续开拓的条件是 lim sin(r-1) A (3分) 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 从而, > 0 ,存在 3 1 [ ] 2 2 N = , n N > 时,有 3 3 2 12 n n ,数列单增. 所以数列收敛.----------------------(4 分) 设 lim k n a a = ,则有a a = 2 ,所以极限a = 2 .--------------(6 分) 三、解下列各题(共 10 分) 1.解:由连续开拓的定义: f x( ) 能够连续开拓的条件是: 1 sin( 1) limx 1 x A x = ------------------(3 分)
所以A= (5分) 2证明:多项式p(x)=x(a xx 为了证明方便,不妨设a>0.从而lmp(x)=+o,Iimp(x)=-0--(4分) 由介值定理:至少存在一个实根 -(5分) 四、解下列各题(共12分) 1.解:(1)简述区间套定理-- (3分) (2)零点定理的证明 -(5分) a+b 不失一般性设f(a)0,取(a,b)中点x1=2 ,观察∫()的符号,若 (a+b)<0则在取(+b,b)的中点反之取(n2+b)记为到,则[x,y1(a,b)一直这 样做下去那么可以得到闭区间套:[xn,yn]…c[x1,y](a,b).从而定理成立 2.证明 Vx,,x2,VE, 1f(x)-f(x2)=1-x2+sin x, x2 1<2 *1-x2<6----42A) 所以取d=--3分) 从而vE,x,x,满足x-x2<6,有f(x)-f(x)<E (4分) 五、解下列各题(每小题6分,共30分 1.解:f(x)可导所以∫(x)连续 (1分) lim f(x)=lim f(x) 从而,下式成立:{x ---(3分) f(1+0)=f(1-0) 「imx2=lm(ax+b) 从而有 (6分) lim 2x= lim a 2.解: tanx+ xsec x+ -(6分) 3.解对方程两边求导:y+x+6x-5y=0 (3分) 所以y= 6 --6分) dx 3 acostsin 2t. bsin 2t (2分) 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 所以 A = 1---------------------------(5 分) 2.证明:多项式 3 1 2 3 0 2 3 () ( ) a a a px x a x x x = +++ -----------------(2 分) 为了证明方便,不妨设 0 a > 0 .从而 lim ( ) , lim ( ) x x px px + = + = --------(4 分). 由介值定理: 至少存在一个实根.----------------------(5 分) 四、解下列各题(共 12 分) 1. 解: (1)简述区间套定理.-----------------------(3 分) (2).零点定理的证明:------------------------(5 分) 不失一般性,设 fa fb ( ) 0, ( ) 0 ,取 (,) a b 中点 1 2 a b x + = ,观察 ( ) 2 a b f + 的符号,若 ( )0 2 a b f + < ,则在取( ,) 2 a b b + 的中点,反之,取(, ) 2 a b a + 记为 1 y ,则 1 1 [ , ] (,) x y ab ,一直这 样做下去,那么可以得到闭区间套: 1 1 [ , ] [ , ] (,) n n x y x y ab .从而定理成立. 2. 证明: 1 2 x x, , ,令 1 2 12 1 2 12 f ( ) ( ) sin sin 2 x fx x x x x x x = + < < --------(2 分) 所以取 2 = ---------(3 分) 从而 , 1 2 x x, ,满足 1 2 x x < ,有 1 2 f () () x fx < --------------------(4 分) 五、解下列各题(每小题 6 分,共 30 分) 1. 解: f x( ) 可导,所以 f x( ) 连续.-------------------(1 分) 从而,下式成立: 1 1 ' ' lim ( ) lim ( ) (1 0) (1 0) x x fx fx f f + = + = ------------(3 分) 从而有: 2 1 1 1 1 lim lim( ) lim 2 lim x x x x x ax b x a + + = + = ,从而， 0 2 a b a = + = 所以, a b = = 2, 1 ------------(6 分) 2. 解: ' 2 2 2 tan sec 1 x y xx x x =+ + + ---------------------------------(6 分) 3. 解:对方程两边求导: ' ' y xy x y + + 65 0 = ------------(3 分) 所以 ' 6 5 x y y x + = ----------------------(6 分) 4. 解: 3 cos sin 2 2 dx at t dt = , sin 2 dy b t dt = --------------(2 分)
所以如=如 dx dx/ dt 3a cost (3分) 所以y=4(中 (5分) dxdx dt dx dx dt dxdx/dt 所以y=98 (6分) coS t 解:y=2 sin x cosx=sin2x-41分) 2)=2cos2x=2sin(2x+2) 3分) 2 sin(2x +-) (6分) 六、解下列各题(共14分) 证明取g(x)=x2,则g(x),f(x)在[0,满足柯西中值定理 (2分) 所以存在∈(0,1),使得 f(5)f(1)-f(0) g(2)g(1)-g(0) 从而∫(5)=25[f(1)-f(0)] 2解:由洛必达法则 In sin 3x sInx lim lim 3/sin 3x 3 lim =3 lim --(4分) x→0 In x0·1/ sInar0sin3xx→03x 3.求函数导数:f(x)=3x2-3 当x∈(-1,1)时,∫(x)0. 所以严格单增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞),严格单减区间为(-1,1) 2分) 令f(x)=3x2-3=0,从而x=1,-1---(3分) 当x=1时,∫(x)=6x=6>0,所以x=1为极小值点极小值为f()=-1 当x=-1时,∫(x)=6x=-6<0,所以x=-1为极大值点极大值为f(-1)=2 -(5分) 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 所以 / 2 / 3 cos dy dy dt b dx dx dt a t = = ---------------(3 分) 所以 2 2 1 () () / d y d dy d dy dt d dy dx dx dx dt dx dx dt dx dx dt == = ----------------(5 分) 所以 2 2 24 2 9 cos dy b dx a t = ------------------------(6 分) 5. 解: ' y xx x = = 2sin cos sin 2 -------------(1 分) (2) 2cos 2 2sin(2 ) 2 y xx ==+ ------------------(3 分) () 1 1 2 sin(2 ) 2 n n n y x = + -------------------------(6 分) 六、解下列各题(共 14 分) 1.证明:取 2 gx x ( ) = ,则 gx f x ( ), ( ) 在[0,1] 满足柯西中值定理---------------(2 分) 所以存在 (0,1) ,使得: ' ' ( ) (1) (0) ( ) (1) (0) f ff g g g = -----------------(4 分) 从而 ' f ff ( ) 2 [ (1) (0)] = --------------------------(5 分) 2.解: 由洛必达法则 0 0 00 ln sin 3 3/ sin 3 sin lim lim 3 lim 3 lim 1 x x xx ln sin 1/ sin sin 3 3 x x xx x x xx + + ++ = = == --------------(4 分) 3. 求函数导数: ' 2 fx x () 3 3 = ------------------------(1 分) 当 x ( 1,1) 时, ' f x() 0 . 所以严格单增区间为( , 1) (1, ) + ,严格单减区间为( 1,1) .-----------(2 分) 令 ' 2 fx x () 3 3 0 = = ,从而 x = 1, 1 .-------(3 分) 当 x = 1时, '' fx x () 6 6 0 = => ,所以 x = 1为极小值点,极小值为 f (1) 1 = 当 x = 1时, '' fx x () 6 6 0 = = < ,所以 x = 1为极大值点,极大值为 f ( 1) 2 = ---------------------(5 分)