一花大学 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第一学期 课程名称:数分分析(1)考试性质:考试试卷类型: 考试班级:数学,信息考试方法:闭卷命题教师 判断对错(每小题3分,共3×5=15分) 5.0 单项选择题(在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的 括号中)(每小题3分,共3×412分) 1.A 3.B: 三、证明题(10分) l+3n-6n2 证明:VE>0,由于 m +3n-6n2 +2 CIxi =2 im∑Cx2=0 …(6分) 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200 /200 学年第一学期 课程名称：数分分析（1） 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级：数学，信息 考试方法：闭卷 命题教师： 一、判断对错（每小题 3 分，共 3×5=15 分）. 1. ×； 2. O ； 3. ×； 4. O； 5. O . 二、单项选择题（在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的 括号中）（每小题 3 分，共 3×4=12 分）. 1.A ； 2. B； 3.B； 4. D。 三、证明题（10 分） 证明： > 0, 由于 2 2 2 1 3 6 13 1 13 2 3 51 3 513 nn n nn nn n + += 时 2 2 2 1 3 6 13 1 13 2 3 51 3 513 nn n nn nn n + += < < + + ………（9 分） 即证 2 2 13 6 lim 2 n 3 51 n n n n + = + ………（10 分） 四、求下列各极限（每小题 6 分，共 6×3＝18 分） 1．解：由于 3 1 2 3 33 n n n n <++< ………（2 分） 而且 lim 3 1 n n = ………（4 分） 故由夹逼定理得 lim 1 2 3 3 n n n n ++= ………（6 分） 2.解： 0 0 0 (1 ) 1 1 lim lim n k k n n k x x x nx C x nx x x = + = ………（2 分） 2 1 0 0 2 lim lim 0 n n k k n k n k k x x k C x C x x = = == = ………（6 分）
2sin COsx 解:Ii lim ………(2分) x→>0 x sinx x sinx sIn 2. lim (6分) 4 sinx 五、计算下列各题(每小题6分,共6×5=30分) NF:y(1+ In(ax+ b)(ax+b) ……(4分) dy=mvdr ……(6分) (1+ln ax+b)o 2.解:当x>0时,f(x)=2-2x ………(2分) 同理当x<0时,f(x)=-2-2x .(4分) x=0时,f(0)=2,(0)=-2,故f(0)不存在 (6分) 解:y=-f(nx) (2分) In x)-f(In x) ……(6分) 4.解:由分部积分公式得 In xdx=xInx-dx (3分) xInx-x+C …(6分) 5.解:J2x2-7x+6 …(3分) 22. x-2-n2x-31+C (6分) 2 六、(8分) 证明:令 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 3.解： 2 2 2 3 3 0 0 2sin 1 cos 2 lim lim x x sin sin x x xx xx = ………（2 分） 2 2 2 0 2 sin 2 2 1 lim 4sin 2 ( ) 2 x x x x x = = ………（6 分） 五、计算下列各题（每小题 6 分，共 6×5=30 分） 1．解： 2 (1 ln ( ))( ) a y ax b ax b = +++ ………（4 分） 2 (1 ln ( ))( ) a dy dx ax b ax b = +++ ………（6 分） 2．解：当 ' x fx x > = 0 () 2 2 时， ………（2 分） 同理当 ' x fx x < = 0 () 2 2 时， ………（4 分） '' ' x 0 (0) 2, (0) 2, (0) ff f = == 时， 故 不存在 + 。 ………（6 分） 3．解： ' ' 1 y fx (ln ) x = ………（2 分） f xf x (ln ) (ln ) y x 2 = ………（6 分） 4．解：由分部积分公式得 ln d =xlnx- dx x x ………（3 分） = x xx ln - +C ………（6 分） 5．解： 2 1 11 d( ) 2 7 6 22 3 x x dx xx x x = + ………（3 分） 1 ln 2 ln 2 3 2 = x xC + ………（6 分） 六、(8 分) 证明：令
f(c,x=a F(x)=1f(x)x∈(ab) …(2分) f(c)x=b 则F(x)分别在[a和cb]满足罗尔中值定理,则存在5∈(acC)52∈(c,b) 使得f()=0,f(2)=0 (6分) 又f(x)在[5,]满足罗尔中值定理,则存在∈(5,) 使得∫"()=0。 (8分) 七、(7分) 证明:反设f(x)在a上无界,用二等分区间法构造区间套{anb]y, 使(在每个{anb](=12,3…)均无界,且lm(b-a)=inb=0. 由区间套定理可套出一点x∈[an,b](n=123…),…(3分) 可证明∫(x)在x0无界,这与f(x)在x连续相矛盾。 ……(7分) 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 ( ), ( ) ( ), ( , ) ( ), fc x a F x f x x ab fc x b = = = ………（2 分） 则 F x( )分别在[a c, ]和[c b, ]满足罗尔中值定理，则存在 1 2 ( , ), ( , ) ac cb 使得 1 2 f f ( ) 0, ( ) 0 = = ………（6 分） 又 f x ( )在[ 1 2 , ]满足罗尔中值定理，则存在 1 2 (, ) 使得 f () 0 = 。 ………（8 分） 七、(7 分) 证明：反设 f x( ) 在[,] a b 上无界，用二等分区间法构造区间套{[a b n n , ]} ， 使 f x( ) 在每个[a b n n , ] ( 1,2,3, ) n = 均无界，且 1 lim( ) lim 0 2 n n n n n b a b a = = . 由区间套定理可套出一点 x ab n 0 [ n n , ( 1,2,3, ) ] = ，………（3 分） 可证明 f x( ) 在 0 x 无界，这与 f x( ) 在 0 x 连续相矛盾。 ………（7 分）