安柔油大学 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第一学期 课程名称:数分分析(1) 考试性质:考试试卷类型: 考试班级:数学,信息 考试方法:闭卷命题教师: 解下列各题(4×3=12分) 1.解:函数的定义域为:{x2+x-x20,x20.x≠4} (3分); 函数定义域为[0,2]-(4分)。 2.证明 因为F(-x)=f(-x)+f(x)=F1(x),F2(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)-(3分 所以:函数F(x)为偶函数,函数F2(x)为奇函数 3解由题意f(x)是x的二次函数,设其为:f(x)=ax2+bx+c (1分) 由f(0)=1,所以c=1 (2分) 再由f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2ax+(a+b)=2x。 从而a=1,b=-1 (3分) 所以f(x)=x2-x+1 (4分)。 、解答下列各题(4+12+6=22分) 1.证明:取数列的奇数项为子数列{x},则vk,有x=-1-(1分); 取数列的偶数项为子数列{x2},则vk,有x2=1 (2分); 从而,1mx=-1≠mx2=1,所以数列{←-)}发散 (4分)。 2.解: -(2分) +n n2+1 由于∵lim L. lim √m2+nnVm2+ 1--(3分 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200 /200 学年第一学期 课程名称：数分分析（1） 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级：数学，信息 考试方法：闭卷 命题教师： 一、 解下列各题(4×3=12 分) 1．解：函数的定义域为： 2 { 2 0, 0, 4} x xx x x + -------------(3 分)； 函数定义域为[0, 2] ----(4 分)。 2.证明: 因为 1 1 F x f x fx Fx ( ) ( ) () () = + = ， 2 1 F x f x fx Fx ( ) ( ) () () = = ----(3 分)； 所以:函数 1 F x( ) 为偶函数，函数 2 F x( ) 为奇函数--------------(4 分)。 3.解:由题意 f x( ) 是 x 的二次函数,设其为: 2 f x ax bx c ( ) = ++ ------(1 分); 由 f (0) 1 = ,所以c =1--------(2 分); 再由 fx fx x ( 1) ( ) 2 + = ,所以 2 2 a x b x ax bx ax a b x ( 1) ( 1) 2 ( ) 2 ++ + = ++= 。 从而a b = = 1, 1 --------(3 分); 所以 2 fx x x () 1 = + ------(4 分)。 二、 解答下列各题(4+12+6=22 分) 1. 证明:取数列的奇数项为子数列 1 { }k x ,则k ,有 1 1 k x = ----(1 分)； 取数列的偶数项为子数列 2 { }k x ,则k ,有 2 1 k x = -------(2 分)； 从而, 1 2 lim 1 lim 1 k k k k x x = = ,所以数列{( 1) } n 发散--------(4 分)。 2. 解: (1).解: 2 22 2 2 11 1 12 1 n n nn n n nn n + ++ + ++ + + --------------(2 分); 由于 2 2 lim 1, lim 1 1 n n n n nn n = = + + ------------(3 分);
由两边夹定理:lim( +2 (2)解:lim(1+3x2)=lim(1+3x2)3x2)3=e (4分) (3).解:当a≤0时,lim(√x2-x+1-ax-b)=+,所以a>0 (1分); 由于lm(√x2-x+1-ax-b)=lim (1-a2)x2-(1+2ab)x+(1-b2) 0一一(2分); = 所以 --(3分);从而,a=1b (4分)。 1+2ab=0 3.解:由于a1=√1,所以数列单增所以数列收敛-(4分) 设lima4=a,则有a=√3a,所以极限a=3. -(6分)。 解下列各题(5×2=10分) 1.解:x=k丌,k=0,±1,±2,…时函数值不存在,所以x=kz,k=0,±1,±2…为间断 点 (2分); limf(x)=1=limf(x),所以x=0为可去间断点 limf(x)=∞,k≠0,所以x=kx,k≠0,k=土1,±2,…为无穷间断点.—(5分)。 2.证明:设f(x)=x3-2x2+x+1,从而f(x)在[-1,上连续 (2分); f(-1)=-30 (3分); 由介值定理:方程在(-1,1)至少存在一个实根 (5分) 四、解下列各题(8+4=12分) 解:(1)简述聚点定理:数轴上有界无限点集至少有一个聚点 (3分) (2).函数有界性的证明 (5分) 由聚点定理可以推导:有界数列{an}必有收敛子列。假设函数f(x)在区间 [ab]上无界。即对于任何自然数n,在区间[ab]上至少有一点x使得(x)>n 取n=12,3…,得到一点列{xn}∈[ab,并且f(xn)>n,即f(x)→a(n→>∞) 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 由两边夹定理: 2 2 2 11 1 lim( ) 1 1 2 n n n nn + ++ = ++ + ----------(4 分) (2)解: 2 2 1 1 2 2 33 3 0 0 lim(1 3 ) lim((1 3 ) ) x x x x x xe + =+ = ------------(4 分)。 (3).解:当a 0 时， 2 lim ( 1 ) x x x ax b + + = + ，所以a > 0 ―――（1 分）； 由于 22 2 2 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) lim ( 1 ) lim 0 1 x x a x ab x b x x ax b x x ax b + + + + + = = ++ + ――（2 分）； 所以 2 1 0 12 0 a ab = + = ------(3 分)；从而, 1 1, 2 a b = = -------(4 分)。 3. 解:由于 1 a = ,所以数列单增.所以数列收敛.--(4 分)； 设lim k n a a = ,则有a a = 3 ,所以极限a = 3.--------------(6 分)。 三、 解下列各题(5×2=10 分)： 1.解: xkk = = ±± , 0, 1, 2,时函数值不存在，所以 xkk = = ±± , 0, 1, 2, 为间断 点----------(2 分)； 0 0 lim ( ) 1 lim ( ) x x fx fx + = = ，所以 x = 0 为可去间断点 lim ( ) , 0 x k fx k = ，所以 xkk k = , 0, 1, 2, =± ± 为无穷间断点.----(5 分)。 2.证明:设 5 2 fx x x x () 2 1 = + + ，从而 f x( ) 在[ 1,1] 上连续-------(2 分)； f f ( 1) 3 0, (1) 1 0 = -------(3 分)； 由介值定理: 方程在( 1,1) 至少存在一个实根.---------------(5 分)。 四、 解下列各题(8+4=12 分) 1. 解: (1)简述聚点定理：数轴上有界无限点集至少有一个聚点。------(3 分)； (2).函数有界性的证明:------------------------(5 分) 由聚点定理可以推导：有界数列{ }n a 必有收敛子列。假设函数 f x( ) 在区间 [,] a b 上无界。即对于任何自然数n ，在区间[,] a b 上至少有一点 n x 使得 ( ) n fx n > 。 取n =1, 2,3,，得到一点列{ }n x [,] a b ，并且 ( ) n fx n > ，即 () ( ) n fx n 。
因为{xn}有界,所以选取x∈[ab],则存在子列x→x(k→∞),从而有 f(x)→∞(k→∞),另一方面,lmf(x)=f(x),f(x)在[a,b连续,所以矛盾。 假设不成立,得证 2.证明:VE>0,Vx1,x2,由于 I(x,)-f(x)=I*x2+cos x, -cos x2|0,x,x,满足x-x2|0满足中值定理 (2分); 所以存在ξ∈(x,x+1),使得 r()=fx+1)-/(x)=1m(x+1)-hmx=1 (4分); 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 因为{ }n x 有界，所以选取 0 x [,] a b ，则存在子列 0 ( ) k n x xk ，从而有 () ( ) k n fx k ，另一方面， 0 lim ( ) ( ) k n k fx fx = ， f x( ) 在[,] a b 连续，所以矛盾。 假设不成立，得证。 2．证明： >0, 1 2 x x, ，由于 12 12 1 2 12 1 2 12 1 2 ( ) ( ) cos cos 2cos( )sin( ) 2 2 2 xx xx fx fx x x x x x x x x + = + + 0 , 1 2 x x, , 满 足 1 2 x x 满足中值定理--------(2 分)； 所以存在 ( , 1) x x + ,使得: ' ( 1) ( ) 1 ( ) ln( 1) ln 1 fx fx f xx x x + = =+ = + -----------------(4 分)；
从而—0 (5分)。 2.解:由洛必达法则和等价无穷小的定义 lim sin x lim cos x-coSx+xsin x sIn x (4分) 3.求导数:f(x)=201+x)-4x=2-2x(1分 (1+x2) (1+x2)2 f(x--4x1+x2)-(2-2x2)2(1+x2),2x4x2-3)x2+1 (2分); (1+x2) 当x0,所以x=-√3是拐点 当0√3时,∫(x)>0,所以x=√3是拐点—(4分) 从而函数的下凸区间为:[-√3,0J√3,+∞],函数的上凸区间为: [-∞,-√3]∽[0,√]------(5分)。 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 从而 1 1 ln( 1) ln , 0 1 x xx x x + ----------------(5 分)。 2.解: 由洛必达法则和等价无穷小的定义 2 3 3 22 000 0 sin cos sin cos cos cos sin 1 lim lim lim lim xxx x sin 3 3 3 xx x xx x x xx x x xx x x + = = == ――― ――――――(4 分); 3．求导数: ' f x( ) = 22 2 22 22 2(1 ) 4 2 2 (1 ) (1 ) xx x x x + = + + ---------(1 分) '' f x( ) 22 2 2 2 2 24 24 4 (1 ) (2 2 ) 2(1 ) 2 4 ( 3)( 1) (1 ) (1 ) x x x x x xx x x x + + + = = + + --------(2 分)； 当 x ，所以 x = 3 是拐点 当0 3 3 时， '' f x() 0 > ，所以 x = 3 是拐点------(4 分)； 从而函数的下凸区间为：[ 3,0] [ 3, ] + ，函数的上凸区间为： [ , 3] [0, 3] ――――――（5 分）。