一花大学 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第二学期 课程名称:数分分析(1) 考试性质:考试试卷类型: 考试班级:数学,信息 考试方法:闭卷命题教师 解下列各题(10分) 1.解:函数的定义域为:(x2x+1>0,4-3x20=(-1,4(2分) 解:函数的定义域为:{x,<x<,k=0,±1,±2…} (2分); 2k+1 3.解:函数的定义域为:{x12k丌-≤x≤2k丌+,k=0,土1,±2,……}-(2分) 2 4.解:函数的定义域为:{x10≤x+a≤1且0≤x-a≤l=a-a (4分)。 解答下列各题(20分) 1.解:由于Sn-Sn=2(1-) (3分) 从而, lim s=lim/4(1、2n-1, (5分) 2.解:lim lim 2(x-4√x+2) (2分); lim 2 √1+2x+3 (4分)。 3.解:由于lim(-∝x-b=m/+2+1-ax(x+1)-b(x+1) =lim( (1-a)x2-(a+b)x+(1-b) =0--(3分 5分) b=0 从而,a=1b=-1 (6分)。 4.解::由于1im(3,)=lm(1+--5、2+3-2 (3分) x→2x 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200 /200 学年第二学期 课程名称：数分分析（1） 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级：数学，信息 考试方法：闭卷 命题教师： 一、 解下列各题(10 分) 1．解：函数的定义域为：{ 2 1 0, 4 3 0} xx x + > ＝ 1 4 ( ,] 2 3 ---------(2 分)； 2．解：函数的定义域为： 1 1 { | , 0, 1, 2, } 21 2 x xk k k < < = ±± + ------(2 分)； 3．解：函数的定义域为：{ | 2 2 , 0, 1, 2, } 2 2 xk x k k + = ±± ----(2 分)； 4．解：函数的定义域为：{ 0 1 0 1} x xa xa + 且 ＝[ ,1 ] a a ---------(4 分)。 二、 解答下列各题(20 分) 1. 解：由于 1 1 1 21 2(1 ) 2 22 n n n n n S S + = ---(3 分)； 从而, 1 21 lim lim[4(1 ) ] 4 2 2 n n n k k n S = = --------(5 分)。 2. 解: 4 4 1 2 3 2( 4)( 2) lim lim 2 ( 4)( 1 2 3) x x x xx x xx + + = + + --------(2 分)； ＝ 4 2 4 lim 2 x 12 3 3 x x + = + + --------(4 分)。 3．解：:由于 2 2 1 1 ( 1) ( 1) lim( ) lim( ) x x 1 1 x x ax x b x ax b x x + + + + = + + 2 (1 ) ( ) (1 ) lim( ) 0 x 1 ax a bx b x + + = = + --------(3 分)； 1 0 0 a a b = + = -------------------(5 分).； 从而, a b = = 1, 1 -------------(6 分)。 4. 解：:由于 3 3 3 3 3 5 5 3 3 3 2 5 lim( ) lim[(1 ) ] 3 3 x x x x x x x x + + = + + + --------(3 分)；
-(5分) 解答下列各题(20分) 1.解:y= 4 sin x -(2分) 4sin x 2 3+5cosx 3+5cosx 20+12 cosx 25+9cos-x+30cosx 2. i y=(sin x)cos x[-sin xIn sin x+ cot x cos x 4分)。 3.解:方程两边同时关于ⅹ求导得 y=[sin(x+y)l(1+y) (2分 解出y得y= (4分)。 I+sin(x+y) 解:方程两边同时取对数得 In y=2Inx-In(1-x)+In (3-x)-In(3+x) 分) 方程两边同时关于x求导得 yx1-x2(3-x)3+x (3分); 解出y得 ---(4分)。 2(3-x)3+ 5.解:如=()+f(0(0)=1 (2分); f(1) (4分)。 四、证明下列各题(15分): 1.证明:VE>0由于-0=≤2当n23时,故取N=max3[]} 则当n>N时 0=≤-<E 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 ＝ 5 e -------------------(5 分).。 三、 解答下列各题(20 分) 1．解： ' ' 2 1 4sin ( ) 4sin 3 5cos 1( ) 3 5cos x y x x x = + + + --------------(2 分)； 2 20 12cos 25 9cos 30cos x x x + = + + --------------(4 分)。 2．解： ' cos (sin ) [ sin ln sin cot cos ] x y x x x xx = + --------------(4 分)。 3．解：方程两边同时关于 x 求导得 ' ' y xy y = [ sin( )](1 ) + + --------------(2 分)； 解出 ' y 得 ' sin( ) 1 sin( ) x y y x y + = + + --------------(4 分)。 4．解：方程两边同时取对数得 1 ln 2ln ln(1 ) ln(3 ) ln(3 ) 2 yx x x x = + + --------------(1 分)； 方程两边同时关于 x 求导得 ' 21 1 1 1 2(3 ) 3 y yx x x x = + + --------------(3 分)； 解出 ' y 得 ' y y = （ 21 1 1 xx x x 1 2(3 ) 3 + + ） --------------(4 分)。 5．解： '' ' ' '' () () () ( ) dy tf t f t f t t dx f t + = = -----(2 分)； 2 2 '' 1 ( ) d y dx f t = ----(4 分)。 四、证明下列各题（15 分）： 1．证明： 3 39 0, 0 | ! ! n n n nn > 由于| = 当 n 3 时,故取 9 N max{3,[ ]} = 则当 n N > 时 3 39 0 | ! ! n n n nn | = <
即证。 (5分)。 2.证明:由于an=(an1+-)≥√2、mn≥时),即数列有下届-(3分) an/a、+-2)≤1,所以数列单减.所以数列收敛 -(6分); 设ima4=a,则有a=(a+-),所以极限a=2 (10分) 五、证明下列各题(15分): 1.证明:由题设f(a)≥a,f(b)≤b.令g(x)=f(x)-x,则 g(a)=f(a)-a≥0,g(b)=f(b)-b≤0 分) 故:若g(a)=0,或g(b)=0,则取x=a或x=柳证---(7分) 若g(a)>0,或g(b)0,取δ 则vx,y∈I L+1 当x-yO时,由中值定理,存在1+x>>1使得ln(1+x)=m(+x)-1nl=2, 故<ln(1+x)<x即证 10分)。 1+x 2.证明:令g(x)=f(x+h)-f(x),则 f(x+2h)-2f(x+h)+f(a)_g(x+h)-g(a)_g(4+m,其中0<b<1。 hr h h 即f(+(1+)h)-f()+((a+(+o))-f(a-/(a+ah)-fa (1+e)h (1+e)h f(a当h→0时)即证 (5分) 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 即证 。 --------------(5 分)。 2 ． 证 明 ： 由 于 1 1 1 2 ( ) 2,( 1 2 n n n aa n a = + 时）, 即 数 列 有 下 届 -(3 分)； 1 2 1 1 2 / 1 )1 2 n n n a a a － = （＋ ,所以数列单减.所以数列收敛. --(6 分)； 设lim k n a a = ,则有 1 2 ( ) 2 a a a = + ,所以极限 a = 2 --------------(10 分)。 五、证明下列各题（15 分）： 1．证明：由题设 fa afb b () , () .令 gx f x x () () = ,则 ga f a a gb f b b ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 = = --------------(4 分)； 故：若 g a( ) 0, = 或 g b() 0 = ，则取 0 0 x = = axb ,或 即证 --------------(7 分)； 若 g a( ) 0, > 或 g b() 0 + 取＝ 则 ， 当 x y 0 ，由中值定理，存在 1 1, ln(1 ) ln(! ) ln1 x x xx +>> + = + 使得 ， = 故 ln(1 ) 1 x x x x < +< + 即证 --------------(10 分)。 2．证明：令 gx f x h f x () ( ) () = + ，则 ' 2 2 f x h f x h f a gx h ga g a h ( 2) 2 ( ) () ( ) () ( ) h hh + ++ + + = = ，其中 0 1 < < 。 即 ' ' ' '' ' ( (1 ) ) ( ) ( (1 ) ) ( ) ( ) ( ) [ ] (1 ) (1 ) fa h fa fa h fa fa h fa h hh + + + + + + + + '' f ( )( a 当h 0时） 即证 --------------(5 分)。
3.证明:令y (x-1)(x+2+√3x+2-√3)=0得 (1+x2)3 x1=1,x2=-2+√3,x3 且y在x1,x2,x点变号,故有三个拐点。 -(3分) 进而易证三个点在同一条直线y=-4x+4上 -(5分)。 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 3．证明：令 '' 2 3 2 (1 ) y x = + ( 1)( 2 3)( 2 3) 0 xx x ++ + = 得 12 3 xx x =1, 2 3, 2 3 = + = 且 '' 123 y 在 点变 xxx , , 号, 故有三个拐点。 --------------(3 分) ； 进而易证三个点在同一条直线 1 5 4 4 y x = + 上--------------(5 分)。
