华东师范大学2004数学分析 、(30分)计算题。 1、求lm(cosx 2、若 +xsin( arctan x),求 4、求幂级数∑mx"的和函数f(x) 5、L为过O0)0A2)的曲线y=asmx(a>0,求(x+y)+2+y) y=asin x, dy= dasin x= a cos xdx 6、求曲面积分(2x+)+d其中=x2+y2,0≤=≤1),取上侧 (30分)判断题(正确的证明,错误的举出反例) 1、若{xn,n=1,2,…,}是互不相等的非无穷大数列,则{xn}至少存在一个聚点 x0∈(-∞,+∞) 2、若∫(x)在(a,b)上连续有界,则f(x)在(a,b)上一致连续 3、若f(x),g(x)在上可积,则im∑f()g(2-)=「f(x)g(x)hx an收敛,则∑a2收敛 5、若在R上定义的函数f(x,y)存在偏导数Jx(x,y),J,(x,y)且f1(x,y),f(x,y)在 (0,0)上连续,则∫(x,y)在(0,0)上可微 6、f(x,y)在R2上连续,D,(x0,y)={(x,y)(x-x0)2+(y-y0)2≤r2}若 V(ro, yo),Vr>0,.f(, y)dxdy=0, W f(x, y)=0, (x,y)ER (15分)函数∫(x)在(-∞+∞)上连续,且limf(x)=A,求证:f(x)在(-∞,+∞).上
1 华东师范大学 2004 数学分析 一、（30 分）计算题。 1、求 2 2 1 0 ) 2 lim(cos x x x x - Æ 2、若 sin(arctan )), 2 ln y e x x x = + - 求 ' y . 3、求Ú - - dx x xe x 2 (1 ) . 4、求幂级数 • n=1 n nx 的和函数 f (x ) . 5、 L 为过O (0 ,0 )和 ,0) 2 (p A 的曲线 y = a sin x (a > 0 ) ,求 Ú + + + L (x y )dx (2 y )dy . 3 y = a sin x , dy = da sin x = a cos xdx 6、求曲面积分ÚÚ + + S (2 x z)dydz zdxdy ,其中 ,(0 1 ) 2 2 z = x + y £ z £ ,取上侧. . 二、（30 分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1 、 若 { x , n = 1 ,2 ,L,} n 是 互 不 相 等 的 非 无 穷 大 数 列 ， 则 { } n x 至 少 存 在 一 个 聚 点 ( , ). x0 Œ -• +• 2、若 f (x ) 在(a ,b )上连续有界，则 f (x ) 在(a ,b )上一致连续. 3、若 f (x ) , g (x ) 在[0 ,1 ]上可积，则 Â Ú = Æ• = - n i n f x g x dx n i g n i f n 1 1 0 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 lim . 4、若 • n=1 a n 收敛，则 • =1 2 n a n 收敛. 5、若在 2 R 上定义的函数 f (x , y ) 存在偏导数 f (x , y ) x , f (x , y ) y 且 f (x , y ) x , f (x , y ) y 在 (0,0)上连续，则 f (x , y ) 在(0,0)上可微. 6 、 f (x , y ) 在 2 R 上 连 续 , ( , ) {( , ) | ( ) ( ) } 2 2 0 2 0 0 0 D x y x y x x y y r r = - + - £ 若 ÚÚ " " > = D r (x , y ), r 0, f (x , y )dxdy 0, 0 0 则 ( , ) 0 ,( , ) . 2 f x y = x y Œ R 三、（15 分）函数 f (x ) 在(-•,+•).上连续，且lim f (x ) A, x = Æ• 求证： f (x ) 在(-•,+•).上
有最大值或最小值。 四、(15分)求证不等式2x≥1+x2,x∈[0,1 五、设∫n(x),n=1,2,…在[a,b上连续,且∫n(x)在[a,b]上一致收敛于∫(x)若 vx∈[a,b],f(x)>0.求证:彐N,d>0,使x∈[a,b],n>N,∫n(x)>o 六、(15分)设{an}满足(1)0≤a4≤100an,n=k+1k+2,…(2)级数∑an收敛 求证 lim na=0 七、(15分)若函数f(x)在[+)上一致连续,求证:∫(x)在[+)上有界 八、(15分)设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在R有连续偏导数,而且对以任意点 (xy0,=0)为中心,以任意正数r为半径的上半球面 y)2+(z-=0) 恒有P(x,y=)d+(x,y,)ddx+R(x,y,hy=0 求证:V(x,y=),R(x,y=)=0,P1(x,y,x)+Q,(x,y,)=0
2 有最大值或最小值。 四、（15 分）求证不等式: 2 1 , [0 ,1 ]. 2 ³ + x x Œ x 五、设 f (x ) n , n = 1,2 ,L 在 [a ,b ] 上连续,且 f (x ) n 在 [a ,b ] 上一致收敛于 f (x ) .若 "x Œ[a ,b ], f (x ) > 0 .求证: $N,d > 0 ,使"x Œ[a ,b ], n > N , f (x ) > d . n 六、（15 分）设{ } n a 满足（1）0 £ a £ 100 a , n = k +1 , k + 2 ,L; k n （2）级数 • n=1 a n 收敛. 求证: lim = 0 Æ• n n na . 七、（15 分）若函数 f (x ) 在[1 ,+•) 上一致连续，求证： x f (x ) 在[1 ,+•) 上有界. 八、（15 分）设 P(x , y ,z),Q (x , y ,z),R(x , y ,z) 在 3 R 有连续偏导数，而且对以任意点 ( , ) 0, 0 0 x y z 为 中 心 ， 以 任 意 正 数 r 为 半 径 的 上 半 球 面 : ( ) ( ) ( ) , , 0 2 2 0 2 0 2 0 S x x y y z z r z z r - + - + - = ³ 恒有ÚÚSr P(x , y ,z)dydz + Q (x , y ,z)dzdx + R(x , y ,z)dxdy = 0 . 求证: "(x , y , z ), R (x , y , z ) = 0, P (x , y , z ) + Q (x , y , z ) = 0. x y