第六章 61不定积分的概念与基本积分公式 62换元积分法 63分部积分法 64几类特殊函数的不定积分
第六章 不定积分 6.1不定积分的概念与基本积分公式 6.2换元积分法 6.3分部积分法 6.4几类特殊函数的不定积分
6.1不定积分的概念和基本积分公 式 ■原函数和不定积分 基本积分公式表 不定积分的线性运算法则
6.1 不定积分的概念和基本积分公 式 原函数和不定积分 基本积分公式表 不定积分的线性运算法则
原函数与不定积分的概念 定义1:如果在区间/内,可导函数F(x)的 导函数为f(x),即x∈I,都有F(x)=f(x) 或F(x)=f(x)dbx,那么函数F(x)就称为f(x) 或f(x)dbc在区间/内原函数 例(inx)= cos SIn x是c0sx的原函数 nx (x>0) lnx是在区间(0,+∞)内的原函数
例 (sin x) = cos x sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义1： 如果在区间I 内，可导函数F(x)的 即x I，都有F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx，那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x)， 或 f (x)dx在区间I 内原函数. 一、原函数与不定积分的概念
原函数存在定理: 如果函数f(x)在区间内连续, 那么在区间内存在可导函数F(x), 使x∈I,都有F(x)=f(x) 简言之:连续函数一定有原函数 问题:(1)原函数是否唯 (2)若不唯一它们之间有什么联系? Bl(sin x)=cos.(sinx+C)=cos x (C任意常数)
原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin x) = cos x (sin x C) = cos x + （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x)， 使x I，都有F(x) = f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
关于原函数的说明 (1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C F(x)+C都是f(x)的原函数 (2)若F(x)和G(x都是f(x的原函数, 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) IE: [F(x)-G(x)]=F(x)-G'(x) f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数)
关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数）
不定积分 定义2函数x)的所有原函数称为x)的不定积分, 记作|f(x)x 根据定义,如果F(x)是fx)的一个原函数,则 Jf(x)dx-F(x)+C, 其中C是任意常数,称为积分常数
根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则 f (x)dx =F(x)+C， 其中 C 是任意常数，称为积分常数。 二、不定积分 定义2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分， 记作 f (x)dx
不定积分的相关名称: ∫—叫做积分 f(x)—叫做被积函数, f(x)dx—叫做被积表达式 叫做积分变量。 』(kFO+C 积被被 分积积积 号函表分 数达变 任意常数
任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 不定积分的相关名称： ———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量
如果F(x)是(x)的一个原函数,则/(x)=F(x)+C 例1.因为 sinx)'=sx,所以cosx=Smx+C 例2.因为(x3)=3x2,所以3x2abx=x32+C。 例3.求函数f(x)=的不定积分 解:当x>0时,(nx) dx=In x+C(x0); x<0时,[n(-x) dx=In(-x)+C(x<0 合并上面两式,得到ax=h|x1+C(x=0)
如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f (x)dx =F(x)+C。 当 x0 时，(ln x) x 1 = ， dx x C x = + ln 1 解：当 x>0 时，(ln x) (x>0)； x 1 = ， dx x C x = + ln 1 (x>0)； 当 x0 时，(ln x) x 1 = ， dx x C x = + ln 1 解： (x>0)；
不定积分的几何意义 2xdx=x+O x2+C1 y 函数(x)的原函数的图 形称为(x)的积分曲线。 函数(x)的积分曲线也 有无限多条。函数(x)的不 定积分表示(x)的一簇积分 O + 曲线,而(x)正是积分曲线 的斜率
- 1 O 1 x y y =x 函数 2 f(x )的原函数的图 形称为f(x )的积分曲线 。 xdx =x + C 2 2 C 1 y =x 2+C 1 C 2 y =x 2+C 2 C 3 y =x 2+C 3 函数f( x )的积分曲线也 有无限多条 。函数f(x )的不 定积分表示f(x )的一簇积分 曲线 ， 而f( x )正是积分曲线 的斜率 。 三、不定积分的几何意义
例4.求过点(1,3),且其切线斜率为2x的曲线方程。 解:设所求的曲线方程为y=f(x),则y=f(x)=2x, 即(x)是2x的一个原函数 y 因为|2xdx=x2+C 所以y=(x)=x2+C。 因为所求曲线通过点(1,3), 故 3=1+C 于是所求曲线方程为 2 O x2+2
例4．求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 y=f(x)，则 y =f (x) =2x， 即f(x)是2x 的一个原函数。 因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 3=1+C，C=2。 于是所求曲线方程为 y=x 2+2。 −2 −1 O 1 2 x −2 −1 1 2 y y=x 2+2 y=x (1, 3) 2 ． 因为 xdx = x + C 2 2 ， 所以y=f(x)=x 2+C