)数学分析 §1体积求法 、旋转体的体积 二、平行截面面积为已知的立体的 、小结 体积 河西学院数学系分析数学教研室
一、旋转体的体积 二、平行截面面积为已知的立体的 体积 §1体积求法 三、小结
旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积
旋转体: 由连续曲线yf(x)、直 线x=a、a=b及x轴所围成 的曲边梯形绕x轴旋转一周 f(x) 而成的立体 讨论 O 旋转体的体积怎样求? 答案: V=(x)bx=zU(x)t
O a b x y 旋转体： 由连续曲线 y =f (x )、直 线 x = a 、 a =b 及 x 轴所围成 的曲边梯形绕 x轴旋转一周 而成的立体。 y =f (x ) 讨论： 旋转体的体积怎样求？ V = ba [f(x)] 2 dx = ba [f(x)] 2 dx 。 答案：
般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x) 直线x=、x=b及轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? 取积分变量为℃, y=∫(x) x∈[a2b 在[a2b上任取小区 xh d b 间x,x+dxl, 取以x为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素,dV=mf(x)1dc 旋转体的体积为y=∫观/(x)
一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )] = y = f (x)
曲线(x)绕x轴旋转而成的立体体积:=z(x)k a 2 例1求椭圆x+y y b 2 分别绕x轴与y轴旋转产生的 旋转体的体积。 O 解:椭圆绕x轴旋转产生 的旋转体的体积: Vx=2 ydx=2T(a-x )dx b cb十 0 4 =2兀-2 x zab 2 3103
曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积： V = b a [f(x)]2 dx。 解：椭圆绕 x 轴旋转产生 的旋转体的体积： Vx =2 a 0 y 2 dx =2 a x dx a a b ( ) 2 0 2 2 2 − x a a x a b 0 3 2 2 2 ) 3 = 2 ( − 2 3 4 = ab 。 x y O a b 2 2 a x a b y = − 下页 例 1 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 分别绕x轴与y轴旋转产生的 旋转体的体积。 Vx =2 a 0 y 2 dx =2 a x dx a a b ( ) 2 0 2 2 2 − x a a x a b 0 3 2 2 2 ) 3 = 2 ( − 2 3 4 = ab
例2连接坐标原点O及点P(h2r)的直线、直线 x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋 转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体,计算圆 锥体的体积 解直线OP方程为 y=h 取积分变量为x,x∈|0,l 在[0,上任取小区间x,x+dx
y 例 2 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线 x = h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋 转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆 锥体的体积． 解 r h P x h r y = 取积分变量为x ， x[0,h] 在[0,h]上任取小区间[x, x + dx]， x o 直线 OP 方程为
以d为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的 体积为 dV=元xdx h 圆锥体的体积 2 h h V=l r-x dx x—3 Thr 3
以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为 x dx h r dV 2 = 圆锥体的体积x dx h r V h 2 0 = h x h r 0 3 2 2 3 = . 3 2 hr = y r h P x o
2 2 例3求星形线x3+y3=a3(a>0)绕x轴旋转 构成旋转体的体积 2 2 解 2 2)3 3 x∈-2a 旋转体的体积 2)3 32 πa3-x3d T 105
− a a o y x 例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)绕x轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 3 2 3 2 3 2 y = a − x 3 3 2 3 2 2 y = a − x x[−a, a] 旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2 = − − . 105 32 3 = a
类似地,如果旋转体是由连续曲线 x=9(y)、直线y=c、y=d为轴所围 成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体, 体积为 T(y)I dy /x-o()
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x = ( y)、直线 y = c 、 y = d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体， 体积为 x y o x = ( y) c d y dy 2 [( )] = d c V
例4求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的 拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋 转构成旋转体的体积 y v(x) 解绕x轴旋转的旋转体体积 2元a ny(x)di T[ a(1-cos 1)2. a(1-cost)dt 0 3 2兀 aL (1-3cos t+3 cos t-cos' t)dt=5T2 a
例 4 求摆线 x = a(t − sint)， y = a(1− cost)的 一拱与 y = 0所围成的图形分别绕x轴 、 y轴 旋 转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 V y x dx a x ( ) 2 2 0 = = − − 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt = − + − 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 = a a 2a y(x)