第八 积分的应用 81 形的面积 面曲线的引 84旋转曲面的面积 85定积分在物理中的应用 小结与习
§3 平面曲线的弧长 §4 旋转曲面的面积 §1平面图形的面积 §5 定积分在物理中的应用 §2 由平行截面面积求体积 小结与习题 第八章 定 积 分的应用 §6 定积分的近似计算
1平面图形的面积 直角坐标系情形 、参数方程 极坐标系情形
一、直角坐标系情形 二、参数方程 §1平面图形的面积 三、极坐标系情形
复习:定积分的几何意义 曲边梯形的面 由连续曲线y=f(X),直线X=a,X=b及X轴所 围成的图形 y y=f(x) a 0 b x 面积呢?
⚫复习: 定积分的几何意义 •曲边梯形的面积: 由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形 y=f(x) a 0 b x y 怎样求面积呢？
Af(x)≥0 1.|2f(x)dx= A f(x)0 y A b 0 b 0 A y=f(x)<0
= f x dx b a 1. ( ) A -A f (x) 0 f (x) 0 A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积 a b a b y=f(x)>0 y=f(x)<0 x x y y 0 0 A A
2.如果f(x)在[a,b]上时正,射负,如下图 y y=f(x) a04 b X 则|0f(x)dx=A4-A2+A ∫/(x)的值都可用区边梯形面积 的代数和表示 何意义
1 2 3 f (x)dx A A A b a = − + 则 2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图 •结论： 的代数和表示 b a f (x)dx的值都可用区边梯形面积 几何意义 a b x y y=f(x) A2 A1 A3 0
应用 例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积 f(x)=X2 y y y f(x)=(x-1)2-1 f(x)=X2 f(×)=1 0 a x-10 2 x a 0 bx-102X ① ② ③ ④ 解:(1)在图①中,被积函数f(x)=x2在[O,a 上连续,且f(x)≥0,根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面积为A=0x2dx
•应用 例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积 义，可得阴影部分的面积为 上连续，且 根据定积分的几何意 （ ）在图①中，被积函数 在 ， ( ) 0, 1 ( ) [0 ] 2 = f x 解： f x x a A x dx a 2 = 0 0 a 0 0 0 y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -1 2 f(x)=1 a b -1 2 f(x)=(x-1)2 -1 ① ② ③ ④
f(x)=(X-1)2-1 f(X)=X y f(x)=1 o a 102×a0bx-102 ④ 解:(2)在图②中,被积函数f(x)=x2在[-12 上连续,且∫(x)≥0,根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面积为A=[2x2d
义，可得阴影部分的面积为 上连续，且 根据定积分的几何意 （ ）在图②中，被积函数 在 ， ( ) 0, 2 ( ) [ 1 2] 2 = − f x 解： f x x A x dx 2 2 = −1 0 a 0 0 0 y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -1 2 f(x)=1 a b -1 2 f(x)=(x-1)2 -1 ① ② ③ ④
f(x)=(X-1)2-1 f(x)=x2 y f(x)=X2 y f(x)=1 0ax-102 x a 0bx-102 ④ 解:(3)在图③中,被积函数f(x)=1在a,b 上连续,且f(x)>0,根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面积为 A dx
义，可得阴影部分的面积为 上连续，且 根据定积分的几何意 （ ）在图③中，被积函数 在 ， ( ) 0, 3 ( ) 1 [ ] = f x 解： f x a b A dx b = a 0 a 0 0 0 y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -1 2 f(x)=1 a b -1 2 f(x)=(x-1)2 -1 ① ② ③ ④
f(×)=(x-1)2-1 f(X)=x2 y f(x)=X2 y f(x)=1 a -102 X 0bx-102x ② ④ 解:(4)在图④中。被积画数(x)=(x-1)2-1在-12 上连续,且在[-1,01上f(x)≥0,在0,2上f(x)≤0, 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为 0 A=1(x-1)2-1d 2 0(x 1)2-1ax
根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为 上连续，且在 ，上 在 ，上 ， （ ）在图④中，被积函数 在 ， [ 1 0] ( ) 0, [0 2] ( ) 0 4 ( ) ( 1) 1 [ 1 2] 2 − = − − − f x f x 解： f x x A x dx x dx = − [( −1) −1] − [( −1) −1] 2 2 0 0 2 1 0 a 0 0 0 y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -1 2 f(x)=1 a b -1 2 f(x)=(x-1)2 -1 ① ② ③ ④
●讲授新课 °直角坐标糸 问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。 y y=X2 y y=f(x) g(x) 02X o a b X
问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。 0 x y=x2 2 y y 0 x y=f(x) y=g(x) a b ⚫讲授新课: •直角坐标系