9.2 正项级数
正项级数及其审敛法 1.定义:如果级数∑中各项均有n≥0 这种级数称为正项级数 2.正项级数收敛的充要条件:S1≤S2≤…SSnS 部分和数列{s为单调增加数列 定理 正项级数收敛分部分和所成的数列,有界
一 正项级数及其审敛法 1.定义: 如果级数 中各项均有 0， 1 = n n un u 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn 定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 有 界. n s 部分和数列 {sn } 为单调增加数列
3比较审敛法设∑和∑v均为正项级数 nE 且an≤vn(n=1,2,…),若∑v收敛,则un收敛; H=1 n=1 反之,若∑un发散,则∑发散 H-=1 n-=1 证明(1)设口=∑“M≤ 且sn=1+u2+…+n≤v1+V2+…+Vn≤o, 部分和数列有界 ∑un收敛 nE
且u v (n = 1,2,) n n ,若 n=1 n v 收敛,则 n=1 un 收敛； 反之，若 n=1 un 发散，则 n=1 n v 发散. 证明 n u u un 且s = 1 + 2 ++ = = 1 (1) n n 设 v , n n u v , 即部分和数列有界 . 1 收敛 = n un 设 和 均为正项级数， = =1 n 1 n n n 3.比较审敛法 u v n v + v ++ v 1 2
(2)设S→)∞(→∞)且un≤v 则a≥50→)不是有界数列 ∑v发散 定理证毕 推论:若∑4,收敛(发散 且vn≤kan(n≥N)( hu <y)则∑vn收敛(发散) 比较审敛法的不便:须有参考级数
n n 则 s (2) s → (n → ) 设 n , n n 且 u v → 不是有界数列 . 1 发散 = n n v 推论: 若 n=1 un 收敛(发散) 且 ( )( ) n n n n v ku n N ku v ,则 n=1 n v 收敛(发散). 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数
例1讨论P级数 1++++…++…的收敛性(P>0) 23 4 解设p≤,“2,则P-级数发散 n J 设p>1由图可知≤ n dx n-lyp (p>1) S.=1+ 3 n dx ≤1+ l yp
例 1 讨论 P-级数 + p + p + p ++ p + n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性.( p 0) 解 设 p 1, , 1 1 n n p 则P −级数发散. 设 p 1, o y x ( 1) 1 = p x y p 1 2 3 4 由图可知 − n n p p x dx n 1 1 n p p p n s 1 3 1 2 1 = 1+ + ++ − + + + n n p p x dx x dx 1 2 1 1
tp=l+ I dx 1+ )时,收敛 ≤1时,发散 当 重要参考级数:几何级数,P级数,调和级数
= + n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 −1 − − = + p p n 1 1 1 − + p 即 有界, n s 则P −级数收敛. − 当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , p p P 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数
例2证明级数∑ 是发散的 n√mn(n+1) 证明 > n(n+1)n+1 而级数∑,发散 m=1n+ 级数∑ 发散 n(n+
例 2 证明级数 =1 ( + 1) 1 n n n 是发散的. 证明 , 1 1 ( 1) 1 + n n + n , 1 1 1 n= n + 而级数 发散 . ( 1) 1 1 = + n n n 级数 发散
4比较审敛法的极限形式 设∑un与∑v都是正项级数如果im“=l, n->0y (1)当0<l<+00时,二级数有相同的敛散性 (2)当1=0时,若∑v收敛则∑un收敛; (3)当1=+0时,若∑vn发散则∑un发散 n=1 n-
4.比较审敛法的极限形式: 设 n=1 un 与 n=1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若 n=1 n v 发散,则 n=1 un 发散; lim l, v u n n n = → 0 l + l = 0 l = + n=1 n v n=1 un
证明(1)由m4=1对于=>0. n→0 2 彐N,当n>N时,1-N) 2 由比较审敛法的推论,得证
证明 l v u n n n = → (1)由lim 0, 2 = l 对于 N, 当n N时, 2 2 l l v l u l n n − + ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n n n 由比较审敛法的推论, 得证
5.极限审敛法: 设∑un为正项级数 n 如果 lim nu=1>0(或 ilim nu=∞), n→00 n→00 则级数∑un发散; n 如果有P>1,使得limn"un存在, n→0 则级数∑n收敛 n=1
设 n=1 un 为正项级数, 如果lim = 0 → nu l n n (或 = → n n lim nu ), 则级数 n=1 un 发散; 如果有p 1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数 n=1 un 收敛. 5.极限审敛法：