西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第九章 数项级数 9.4数项级数习题课

第九章习题课

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1、常数项级数 定义 ∑ n=l1+l2+l3+…+n+ n=1 级数的部分和Sn=1+l2+…+ln ∑ 级数的收敛与发散 项级数收(发 存在 n→00

 = + + ++ +  = n n un u1 u2 u3 u 1 1、常数项级数 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在). = = + + + = n i n u u un ui s 1 级数的部分和 1 2  定义 级数的收敛与发散

收敛级数的基本性质 性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数 敛散性不变 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和 级数收敛的必要条件:im=0

性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. lim = 0. → n n 级数收敛的必要条件: u 收敛级数的基本性质

常数项级数审敛法 般项级数正项级数任意项级数 1.若Sn→S,则级数收敛; 2.当n→∞,l1→0,则级数发散; 3按基本性质; 4绝对收敛4充要条件 4对收敛 5比较法 5交错级数 6比值法 (莱布尼茨定理) 7根值法

常数项级数审敛法 正 项 级 数 任意项级数 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 若 S S ,则级数收敛; n → 当 →  , → 0,则级数发散; n u n 一般项级数 4.绝对收敛

(2)比较审敛法的极限形式 设>un与vn都是正项级数如果lmn=l n→00 n= n=1 则(1)当0<1<+时,二级数有相同的敛散性; (2)当=0时,若∑vn收敛则∑n收敛; n=1 H=1 (3)当=+时,若∑发散则∑n发散;

(2) 比较审敛法的极限形式 设  n=1 un 与  n=1 n v 都是正项级数,如果 l v u n n n = → lim , 则(1) 当0  l  +时,二级数有相同的敛散性; (2) 当l = 0时，若  n=1 n v 收敛,则  n=1 un 收敛; (3) 当l = +时, 若  n=1 n v 发散,则  n=1 un 发散;

2、正项级数及其审敛法 定义 ∑ n,ln≥0 审敛法正项级数收敛部分和所成的数列s有界 (1)比较审敛法 若∑un收敛(发散且vn≤un(an≤vn 则∑vn收敛(发散)

定义 , 0 1    = n n un u 正项级数收敛 部分和所成的数列 有界. n  s 2、正项级数及其审敛法 审敛法 (1) 比较审敛法 若  n=1 un 收敛(发散)且 ( ) n n n n v  u u  v , 则  n=1 n v 收敛(发散)

(3)极限审敛法 设∑n为正项级数, 如果 clim nu=l>0(或 lim nu=∞), n→00 n→0 则级数∑n发散; n: 如果有p>1,使得 limn'u存在, n→00 则级数∑n收敛 n=1

设  n=1 un 为正项级数, 如果lim =  0 → nu l n n (或 =  → n n lim nu ), 则级数  n=1 un 发散; 如果有p  1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数  n=1 un 收敛. (3) 极限审敛法

(4)比值审敛法(达朗贝尔 D'Alembert判别法) 设∑是正项级数如果数线+∞) n=1 则p1时级数发散;p=1时失效 (5)根值审敛法(柯西判别法) 设>un是正项级数, 如果imln=p(p为数或+∞) 则p1时级数发散:p=1时失效

(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法) 设  n=1 un 是正项级数,如果lim ( ) 1 =   +  + → 数或 n n n u u 则  1时级数收敛;  1时级数发散;  = 1 时失效. (5) 根值审敛法 (柯西判别法) 设  n=1 un 是正项级数, 如果 =  → n n n lim u (为数或+ ), 则  1时级数收敛;   1时级数发散; = 1时失效

3、交错级数及其审敛法 定义正、负项相间的级数称为交错级数 ∑(-1)n或∑(-1)un(其中un>0) n-=1 n=1 莱布尼茨定理如果交错级数满足条件: (i)n≥un+1(n=1,2,3,…);(i) limu=0,则 n→0 级数收敛,且其和s≤u1,其余项rn的绝对值

定义 正 、负项相间的级数称为交错级数. ( 1) ( 1) 1 1 1 n n n n n n  u  u  =  = − − 或 − 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ) ( 1,2,3, ) un  un+1 n =  ;(ⅱ)lim = 0 → n n u ,则 级数收敛, 且其和 u1 s  , 其 余 项 n r 的绝对值 n  un+1 r . (  0) 其中un 3、交错级数及其审敛法

4、任意项级数及其审敛法 定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 定理若∑n收敛则∑un收敛 定义:若∑n收敛,则称∑un为绝对收敛; 若∑n发散,而∑un收敛,则称∑un为条件收敛

定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定理 若  n=1 un 收敛,则  n=1 un 收敛. 定义:若   n=1 un 收敛, 则称  n=0 un 为绝对收敛; 若   n=1 un 发散,而  n=1 un 收敛, 则称  n=1 un 为条件收敛. 4、任意项级数及其审敛法