1.2一致收或函数列与 致收敛函数列的性质 函数项级数的性质
1.2 一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质 一 一致收敛函数列的性质 二 函数项级数的性质
致收敛函数列 1函数及限与序列极限交换定理 O)>() lim(x) o iman=limf(x)(存在) n→ x→>x0 (Elim lim f(x)=lim lim f(x) n->∞0x>x0 x-Xo n 讨论单侧极限是,只要把以上定理中的 x∈U(x0)与x→>x0分别改为U°(x0) (或U°(x0)与x→>x(或x→>x。)即可
一. 一致收敛函数列的解析性质 1 函数及限与序列极限交换定理 ( ) ( ) ( ) 0 lim n n n x x f x f x f x a → → → = ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim ( lim lim lim lim ) n n x x n n x x x x n n a f x f x f x → → → → → → = = 存在 即 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , ( ) ( ) . x U x x x U x U x x x x x + + − − → → → 讨论单侧极限是 只要把以上定理中的 与 分别改为 或 与 或 即可
2.连续性定理 设在D上fn二f(x),且对n,函数f(x) 在D上连续,→f(x)在D上连 证(要证:对Vx0∈D,f(x)在点x0 连续.即证:对VE>0,3δ>0,当 x-x0k6时,→|f(x)-f(x0)kE.)
2.连续性定理 设在D上 n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ f (x) ,且对 n ,函数 f (x) n 在 D 上连续 , f (x) 在D 上连续. 证 ( 要证 : 对x0 D , f (x) 在点 0 x 连续 .即证: 对 0, 0 , 当 | x − x0 | 时, | ( ) − ( ) | 0 f x f x . )
f(x)-八(x)s(x)-f(x)+(x)-f(x)+(x)=(x) 估计上式右端三项.由一致收敛,第一、三两项 可以任意小;而由函数fn(x)在点x0连续 第二项|fn(x)-fn(x0)也可以任意小 ●0● 系设在D上fn(x)→>f(x).若f(x)在D 上间断,则函数列{f(x)在D上一致收敛和 所有fn(x)在D上连续不能同时成立
| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 0 0 0 0 f x f x f x f x f x f x f x f x n n n n − − + − + − 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项 可以任意小; 而由函数 f (x) n 在点 0 x 连续, 第二项| ( ) ( ) | 0 f x f x n − n 也可以任意小 . …… 系 设 在D上 f (x) n → f (x) . 若 f (x) 在D 上间断 ，则函数列{ f (x) n }在 D上一致收敛和 所有 f (x) n 在 D上连续不能同时成立
註定理表明:对于各项都连续且一致收敛 的函数列{fn(x)},有 lim lim f (x)=lim lim f(x) x→>x0n->00 H->0x->x0 即极限次序可换 3.可积性定理 若在区间[a,b1上函数列{f(x)}一致收 敛,且每个(x)在[b上连续,则有 b b lim fm(x)dx=lim f,(x)dx n→)0a
註 定理表明: 对于各项都连续且一致收敛 的函数列{ f (x) n }, 有 lim lim ( ) lim lim ( ) 0 0 f x f x n n x x n x→x n→ → → = 即极限次序可换 . 3. 可积性定理 若在区间[ a , b ] 上函数列{ f (x) n }一致收 敛 , 且每个 f (x) n 在[ a , b ]上连续. 则有 (lim ( ) lim ( ) . ) b b n n a a n n f x dx f x dx → → =
证设在[ab]上二fx,由Th1 函数f(x)在区间[a,b上连续,因此可积 我们要证mf(x)k=f(x)k.注意到 n→oa 一=一1,可见只要 fn()-f(x)< b 在[a,b]上成
证 设在[ a , b ]上 n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ f (x) , 由 Th1, 函数 f (x)在区间[ a , b ]上连续,因此可积. 我们要证 = → b a b a n n lim f (x)dx f (x)dx. 注意到 − − b a n b a b a n f f | f f | , 可见只要 b a f x f x n − − | ( ) ( ) | 在[ a , b ]上成立
例1定义在[0,上的函数列 2nax,0sx≤、 2 fn(x)=2a,-2nanx,2n xS 0.-,就有f(x)=0
例 1.定义在[0,1]上的函数列 1 2 ,0 2 1 1 ( ) 2 2 , 2 1 0, 1 n n n n n x x n f x n x x n n x n = − n = 1,2, 由于 (0) 0 n f = ，故 (0) = lim (0) = 0 → n n f f . 当0 x 1时，只要 x n 1 ，就有 f (x) = 0 n
故在(1上有f(x)=(x)=0.于是函数列 在[0,1上的极限函数f(x)=0,又由于 sup n(x)-f(x=an x∈[0,1] 所以,所给函数列在[0,1上一致收敛 >Cn->0(->∞0) 由于f(x)d 2n 因此。f(x)d →>f(x)ax=0lins2n0 n→>0
故在(0,1]上有 ( ) = lim ( ) = 0 → f x f x n n .于是函数列 在[0,1]上的极限函数 f (x) = 0，又由于 [0,1] sup ( ) ( ) n n x f x f x − = 所以，所给函数列在[0，1]上一致收敛 0( ) n → → n ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 0 0 , 2 0 lim 0 2 n n n n n f x dx f x dx n f x dx n → = → = = 由于 因此
这样当an=时,虽然{(x)不一致收敛于 f(x),但可积性定理的结论仍成立 但当an=n时,{n(x)不一致收敛于f(x) 且(x)=也不收敛于f(x)=0
( ) ( ) 1 , . n n f x f x 这样当 时,虽然 不一致收敛于 但可积性定理的结论仍成立 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 , , 1 0. 2 n n n n f x f x f x f x = = 但当 时 不一致收敛于 且 也不收敛于
可微性定理 设函数列(x)定义在区间[a,b]上, 在某个点x0∈[a,b收敛.对Vm,fn(x)在 [a,b]上连续可导,且由导函数构成的函 数列{fn(x)}在[a,b上一致收敛,则函数 列{f(x)}在区间a,b]上收敛,且有 d lim,(o)=lim r /(ry
4. 可微性定理 设函数列{ f (x) n }定义在区间[ a , b ]上, 在某个点 x0 [ a , b ]收敛. 对n , f (x) n 在 [ a , b ]上连续可导, 且由导函数构成的函 数 列{ f (x) n }在[ a , b ]上一致收敛, 则函 数 列{ f (x) n }在区间[ a , b ]上收敛, 且有 (lim ( ) lim ( ). n n ) n n d d f x f x dx dx → → =