87.5微积分学基本定理 、一个实倒 变上限的定积分 基本定理 四、定积分的基本公式
§7.5 微积分学基本定理 一 、 一个实例 二、 变上限的定积分 三、 基本定理 四、 定积分的基本公式
个实倒 位移函数(1)与速度函数()间的关系 物体在直线上作变速直线运动时刻物体所对应 的路程为(t),速度为(t),当由a变到b时,物体所经过 的路程是多少? 物体所经过的路程显然有两种表达方式 第一种:应用路程函数(1)将其表示为(b)-S(a) 第二种:应用定积分的物理意游其表示为(dt →[()dt=S(b)-S(a)2其中()=S(
一 、 一个实例 ——位移函数S(t)与速度函数V(t)间的关系 物体所经过的路程显然有两种表达方式: 第一种: 应用路程函数S(t)将其表示为S(b) − S(a); 第二种: b a 应用定积分的物理意义将其表示为 V(t)dt ( ) ( ) ( ), ( ) ( ). ' V t dt S b S a V t S t b a = − = 其 中 一物体在直线上作变速直线运动,t时刻物体所对应 的路程为S(t),速度为V(t),当t由a变到b时,物体所经过 的路程是多少?
二、变上限的定积分 定义 种表达函数的新方法 设(x)在ab上可积则(x)=f()b,x∈a,b 定义了一个以积分上限x为自变量的函数称为变上 限的定积分,或积分上限函数 类似地y(x)=f()l,x∈la,b称为变下限的定积分 若在ab上可积则有定积分f(x)d存在 且f(x)bx=f()dt x∈|a,a,x上可积因而有f()d存在
二、 变上限的定积分 — —一种表达函数的新方法 ( ) ( ) . = b a b a 且 f x dx f t dt 若 在 上可积 则有定积分 存 在 b a f [a,b] , f (x)dx x [a,b] f在[a, x]上可积,因而有 存在 x a f (t)dt 定义 f (x) [a,b] ， (x) f (t)dt, x [a,b] x a 设 在 上可积 则 = 定义了一个以积分上限x为自变量的函数， 称为变上 限的定积分， 或积分上限函数. 类似地， (x) f (t)dt, x [a,b]称为变下限的定积分. b x = 与 统称为变限积分
理诺若在nb上可积则是b上的连续函数 证明:对ab上任一 按变上限积分的定义 x+△x x+△r △=f(t-.f(t) f(tdt. 因在ab上有界可设f()≤M,t∈a,b1 于是当Ax>0时有 x+△x x+△x f(t)dt f()t≤M△x x 当Ax0 即证得在点连续由x的任意性在a,b上处处连续
定理7.9 若f在[a,b]上可积， 则与是[a,b]上的连续函数 证明: 对[ , ] , [ , ], a b x x x a b 上任一确定的点 只要 + 按变上限积分的定义有 ( ) ( ) ( ) . + + = − = x a x x x x x a f t dt f t dt f t dt 因f在[a,b]上有界,可 设 f (t) M,t [a,b]. 于是,当x 0时有f (t)dt f (t)dt M x; x x x x x x = + + 0 . lim 0, 0 = → x 当 x 时则有 M x 由此得到 即证得在点x连续.由x的任意性, f在[a,b]上处处连续
补充如果f()连续,a(x)、b(x)可导, 则F(x)=x(M的导数F(x)为 d cb(x) F'(x) s(dt=fb(x)o'(x)-fTa(x)la'(x) b(r) F(x)= f(t)dt a(x So f(txt-Jo f(dt, F(x)=fb(x)o'(x)-fla(x)la(x)
如果 f (t)连续，a(x)、b(x)可导， 则F x f t dt b x a x = ( ) ( ) ( ) ( ) 的导数F( x)为 补充 = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) 证 F x ( )f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 = + f t dt b x = ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t dt a x − F(x) = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x
三、基本定理 微积分学基本定理 定理710 若a,b上连续则可变上限积分在a,b上 处处可导,且 d o( de Ja f(o)dt=f(x), xE[a, bl 分析:前提∫在a,b连续→x)在a,b可导且p(x)=f(x) 只须f在a,b连续→lim=f(x) △x-0△x
三、 基本定理 — —微积分学基本定理 定理7.10 若f在[a,b]上连续， 则可变上限积分在[a,b]上 处处可导， 且 ( ) f (t)dt f (x), x [a,b]. dx d x x a = = 分析: 前提 [ , ] ( ) [ , ] ( ) ( ) ' f在 a b 连 续 x 在 a b 可导且 x = f x 只须 [ , ] lim ( ). 0 f x x f a b x = → 在 连续
证明对上任一确定的Ax≠0且x+A∈lab时 由变上限积分的定义 △=0(x+△x) x+△x f()di 由积分第一中值定理 △p1 x+△x f(t)d=f(x+a△x)20≤≤1 △x△x 由于/在点x连续,故有 △ lim= lim f(x+BAx)=f(x) △x→>0△x△x→>0 所以(x)在x可导且(x)=f(x) 由x在a,b1上的任意性,故是/在a 个原函数
证明: 对[ , ] 0 [ , ] a b x x x x a b 上任一确定的 当 + 且 时 由x a b f a b 在[ , ] , [ , ] . 上的任意性 故是 在 上的一个原函数 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x a a x x x f t dt f t dt + = + − = − ( ) . x x x f t dt + = 由变上限积分的定义 1 ( ) ( ), 0 1. x x x f t dt f x x x x + = = + 由积分第一中值定理 0 0 lim lim ( ) ( ). x x f x x f x x → → = + = 由于f x 在点 连续,故有 所以 ( ) ( ) ( ). x x x f x 在 可导且 =
微积分学基本定理的載性 (i)解决了原函数的存在性问题 精僻地得出:{a,b上的连续函数一定存在原函数,且 (x)是f(x)的一个原函数这一基本结论 i)沟通了导数与定积分之间的内在联系 为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学 基本定理 i)为寻找定积分的计算方法提供了理论依据 足理指田奭x是∫x)的一个原函数,而x又是变上限 积分故(b)=f(x)dk,(a)=f(x)bx→ f(x)d=0(b)-(a
微积分学基本定理的重要 性 (i) 解决了原函数的存在性问题 (ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系 (iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据 精僻地得出: [a,b] 上的连续函数一定存在原函数,且 ( x) 是 f ( x) 的一个原函数这一基本结论. 为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学 基本定理. 定理指出 ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,而 ( x) 又是变上限 积分,故 ( ) ( ) , ( ) ( ) b a a a b f x dx a f x dx = = ( ) ( ) ( ). b a f x dx b a = −
f(x)dx=o(b)-p(a). 比较变速直线运动中 y(t)dt=S(b)-s(a). 同点:等式左端同是a,b上的定积分,等式右端 都是原函数在a,b上的增量
比较变速直线运动中 V(t)dt S(b) S(a). b a = − f (x)dx (b) (a). b a = − 共同点: 等式左端同是[ a , b ]上的定积分,等式右端又 都是原函数在[a , b ]上的增量
四、定积分的基本公式 牛顿一菜布尼兹公式 若函数在a,b上连续且F(x)是f(x)在a,b上的 个原函数则 I f(dx=F(b)-F(a) 分析:前提条件在a,b连续→(1)。f(x)b存在 (2)f(x)存在原函数 f()d就是它的一个原函数
四、 定积分的基本公式 — —牛 顿—莱布尼兹公式 定理7.11 若函数f在[a,b]上连续,且F(x)是f (x)在[a,b]上的 一个原函数， 则 = − b a f (x)dx F(b) F(a). 分析: 前提条件 (2) ( ) . (1) ( ) , [ , ] 存在原函数 存 在 在 连 续 f x f x dx f a b b a ( ) 就是它的一个原函数. x a f t dt