8.4旋 积
8.4 旋转曲面的面积
定积分的元 通过对不均匀量(如曲边梯形的面积,变速直线 运动的路程)的分析,采用“分訓、近似代替、求和 取极限”四个基本步骤确定了它们的值,并由此抽象 出定积分的概念,我们发现,定积分是确定众多的不 均勺几何量和物理量的有效工具。那么,完竟哪些量 可以通过定积分来求值呢?
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线 运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、 取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象 出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不 均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量 可以通过定积分来求值呢？ 一 定积分的元素法(或微元法)
为了说明微元法,我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。 微step1.分割:任意划分[ab]为n个小区间 元法 1x21,x1(=1~m),则A=∑△4 近似:V5∈x=x 计算△A≈f()△x1 o a ti-1 i
为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。 step1. 分割：任意划分[a,b]为n个小区间 = − = = n i i i n A Ai x x i 1 1 [ , ] ( 1 ~ ),则 step2. 近似： [ , ], i xi−1 xi ( ) i i xi 计算 f (i = 1~n) 微 元 法
s3求和:A≈∑f(5)△x i=1 stp4.取极限:A=m∑/(5A即A=「/(x)k 微分析:在上述间题注意到:所求量即面积A满足 元 法1与区间a,b及1a,b上连续函数(x)关 2对a具有可加性,即A=∑△4 3局部量△A1≈f(5)△4,且误差为o(△x 实际上,引出A的积分表达式的关键步骤是第 步,因此求解可简化如下:
step3. 求和： = n i i xi A f 1 ( ) step4. 取极限： = → = n i i xi A f 1 0 lim ( ) = b a 即 A f (x)dx 分析：在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足： 1 。与区间[a,b]及[a,b]上连续函数f(x)有关; 2 。对[a,b]具有可加性， ; 1 i n i A A = 即 = 3 。 ( ) , ( ) i i Ai o xi 局部量 A f 且误差为 实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下： 微 元 法
stepl:选取积分变量及积分 区间(如x属于[ab]) tep2取微区间xx+dxl 微求出△A≈f(x)ke(局部量) 法并记dA=f(x)称为面积元素 o a xx+dx 计算A=f(x)b 这种方法称为定积分的 或
step1:选取积分变量及积分 区间（如x属于[a,b]） step2:取微区间[x,x+dx] 求出 A f (x)dx (局部量) 并记dA = f (x)dx 称为面积元素 step3: = b a 计算 A f (x)dx 这种方法称为定积分的元素法或微元法。 微 元 法
般的,如果某一实际问题中所求量Q符合条件: 1°Q是与某一变量x的变化区间|a,b有关的量; 2Q对于a,b区间具有可加性; 微 元3”局部量△Q≈∫()Ax 法 那么,将Q用积分来表达的步骤如下: 选取积分变量及积分区间(如:x∈a,b) 取微区间x+axl,求出△Q≈f(x) 并记dQ=f(x)bk tp3.计算A=f(x)d
一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件: 1 。 Q是与某一变量x的变化区间[a,b]有关的量； 2 。 Q对于[a,b]区间具有可加性； 3 。局部量 ( ) . i i xi Q f 那么，将Q用积分来表达的步骤如下: step1. 选取积分变量及积分区间 (如: x[a,b]) step2. 取微区间[x,x+dx]，求出 Q f (x)dx 并记dQ = f (x)dx step3. = b a 计算 A f (x)dx 微 元 法
设量U非均匀地分布[a,b上求U的步骤 分用分点a=x0<x1<…<x1<xn=b将 割 区间分成n个小区间x1xl∠x=x-x1=1 以把U在小区间上的局部量U 直 用某个函数f(x)在5(5∈x1,xD 的值与A。之积代替U1≈f(5)∠Ax 把局部量的近似值累加得到总量的近似值,即 求和 U=∑AU1≈f(5,)4x
求Ｕ的步骤 分 割 用分点 a = x0 x1 xn−1 xn = b 将 区间分成n 个小区间 1 1 [ , ], xi− xi xi = xi − xi− 以 直 线 代 曲 把Ｕ在小区间上的局部量 Ui 用某个函数f ( x) 在 ( [ , ]) i i xi−1 xi 的值与 xi 之积代替 i i xi U f ( ) 求 和 把局部量的近似值累加得到总量的近似值, 即 = = = n i i i n i U Ui f x 1 1 ( ) 设量Ｕ非均匀地分布[ a ,b ]上
求极限 元=max∠xi U=lim>f( )4x= f(x)dx 凡→>0 由此可知,若某个非均匀量U在区间{a,b上满足两个条件 (1)总量在区间上具有 即把区间分成几个小区间时总量就 等于各个小区间上的局部量之和, (2)局部量可用 近似表示 它们之间只相差一个 的 不均匀量U就可以用定积分来求得 这是建立所求量的积分式的基本方法
xi i n max 1 = = → = = n i b a U f i xi f x dx 1 0 lim ( ) ( ) 由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间[a,b] 上满足两个条件： （1） 总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就 等于各个小区间上的局部量之和， （2）局部量可用 i xi f ( ) 近似表示 它们之间只相差一个 xi 的高阶无穷小 不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得 这是建立所求量的积分式的基本方法 求 极 限
1求微元 写出典型小区间Ix,x+dca2b 上的局部量∠U的近似值 du= f(o)dx 这就是局部量的微元 2求积分 即把微元《在区间Ia,b1上 “无限积累”起来,相当于把∫(x) 作积分表达式,求它在[a,b]上的定积分,即 U=()dx 这就是微元法
1 求微元 写出典型小区间 [x, x + dx] [a,b] 上的局部量 U 的近似值 dU = f (x)dx 这就是局部量的微元 2 求积分 即把微元 dU 在区间 [ a , b ] 上 f (x)dx 作积分表达式，求它在[ a , b ] 上的定积分，即 = b a U f (x)dx 这就是微元法 “无限积累”起来，相当于把
例 设曲线Cyf(x)在[a,b上有连续导数,求弧长 解:(图一) I取积分变量x∈[a,b 2取微区间[x,x+△x],则△S≈M1M △x2+△v 1+( △y)2△x B=M △x 记d=1+y2a—弧长微元 3°S= 6 vI+y dr A=M
例 设曲线 : = ( )在[ , ]上有连续导数,求弧长 C y f x a b 解:（图一） 1 x [a,b] 。 取积分变量 i-1 i 2 2 2 2 x x x S M M x y 1 x y x = + = + 。 取微区间[ , + ],则 （ ） 2 记ds y dx = +1 弧长微元 2 3 S= 1 a b + y dx 。 y o x Mi−1 Mi M1 M2 Mn−1 B M= n A M= 0 a x x x + b