11.5函数的幂级数展开 泰勒级数 、函数展开成幂级数
11.5 函数的幂级数展开 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
、泰勒级数 上节例题∑(-1=1m(+x)(1<x≤1 n存在幂级数在其收敛 f(x)=2an(x-x0)域内以/)为和函数 问题:1.:如果能展开,是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数?
一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理1如果函数f(x)在U(x0)内具有任意阶导 数,且在U(x0)内能展开成(x-x0)的幂级数 即f(x)=∑an(x-x0) n=0 则其系数an=n f(x0)(n=0,1,2,…) 且展开式是唯一的 证明∑a1(x-x0)“在n(x0内收敛于f(x)即 n-=0 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)+
证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的
逐项求导任意次得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+…+man(x-x0) fn(x)=n!an+(n+1)n…3:2an+1(x-x0)+ 令x=x 09 甲得 (x)(=0,1,2,)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,f(x的展开式是唯一的
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 泰勒系数
定义如果f(x)在点x处任意阶可导,则幂级数 ∑ fm(x-x)称为f(x)在点x的泰勒级数 n=0 ∑ x"称为f(x)在点x=0的麦克劳林级数 n=0 n 问题f(x)?2(x-x) 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不
如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f ( x)在点x0 = 0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定
例如f(x) 3C≠0 0、x=0 在x=0点任意可导,且f(0)=0(1=012,…) f(x)的麦氏级数为∑0x 该级数在(-0+∞)内和函数s(x)=0.可见 除s=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x)
= = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导
定理2f(x)在点x的泰勒级数,在U(x0)内收 敛于f(x)兮在U。(x0)内lmRn(x)=0 n→00 证明必要性设(x)能展开为泰勒级数 f(x)=∑ 0(x-x0)2+Rn(x) R,()=f(x)-sm(x),. lims+()=f(x) n→0 lim R,()=limlf(x)-sm+()=0; n→00
定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;
6分性:f(x)-sn+1(x)=Rn(x) limf()-m(x)=lim Rn(x)=0 n→0 n→00 即 lim s+(x)=f(x) n→00 f(x)的泰勒级数收敛于f(x) 定理3设f(x)在U(x0)上有定义,丑M>0,对 Vx∈(xn-R,x0+R),恒有f(x)≤M (n=0,1,2,…),则f(x)在(x0-R,x0+R)内可展 开成点x0的泰勒级数
充分性 ( ) ( ) ( ), f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M 0,对 ( , ) x x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( ) ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数
证明 R,(x)= (5(x-x0)H≤Mxy (n+1) (n+1) n+1 x∈(x0-R2,x0+R) ∑ X-x 在(-∞,+0)收敛, (n+1) n+1 im0=0,故imRn(x)=0, n→)∞(n+1) 1→00 x∈(x0-R,x0+R) 可展成点xn的泰勒级数
证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x , ( 1)! 1 0 + − + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + − = + n n n x x 0, ( 1)! lim 1 0 = + − + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 . 可展成点x0的泰勒级数 ( , ) x x0 − R x0 + R
函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤:(1求n= (2)讨论imR,=0或f(x)≤M n→0 则级数在收敛区间内收敛于f(x)
二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , Rn f (n) x M n = → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x)
