第十 函数列与函数项级数
第十一章 函数列与函数项级数
11.1函数项级数及一致收敛性 点态收敛 函数项级数(或函数序列)的基本问题 数 五小结
11.1 函数项级数及一致收敛性 一 点态收敛 二 函数项级数（或函数序列）的基本问题 三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性 四 一致收敛性判别 五 小结
问题的提出 问题:有限个连续函数的和仍是连续函数,有限 个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数 及积分的和.对于无限个函数的和是否具有这些 性质呢?
问题的提出 有限个连续函数的和仍是连续函数，有限 个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数 及积分的和．对于无限个函数的和是否具有这些 性质呢？ 问题:
点态收敛 现在我们将级数的概念从数推广到函数上去 )函数项级数的一般概 1.定义: 设u1(x)2u2(x),…,un(x),…是定义在IR上的 函数,则∑un(x)=1(x)+2(x)+…+n(x)+ H=1 称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数 例如级数∑x=1+x+x2+…, H=0
（一）函数项级数的一般概念 1.定义: 设 u1 (x),u2 (x), ,un (x), 是定义在 I R上 的 函数,则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 一 点态收敛 现在我们将级数的概念从数推广到函数上去
2.收敛点与收敛域 如果x∈I,数项级数∑u1(x)收敛 n= 则称x为级数∑u1(x)的收敛点,否则称为发散点 n=1 函数项级数∑n1(x)的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域
2.收敛点与收敛域: 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域
3.和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x) 称(x)为函数项级数的和函数 s(x)=1(x)+u2(x)+…+un(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和sn(x)Imsn(x)=s(x) n→0 余项r(x)=s(x)-sn(x) mr(x)=0(x在收敛域上) n→0 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上 是数项级数的收敛问题
lim s (x) s(x) n n = → 函数项级数的部分和 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) → rn x n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. 3.和函数: s(x) = u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. (定义域是?) s (x), n
S(x)为∑4(x)通过逐点义背到 y=1 因而称∑(x)在D上点态收效于S(N 例1求级数∑(1)(1 的收敛域 si n 1+x 解由达朗贝尔判别法 n+1 → (x)n+11+x1 (n→>∞) +x (1)当 1+ 1 即x>0或x<-2时,原级数绝对收敛
例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 + − = 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + + = 1 1 1 ( ) 1 1 → + → n x 1, 1 1 (1) + x 当 即 x 0或x −2时, 原级数绝对收敛. 1+ x 1
(2)当,1 1+x >1,→1+x<1 即-2<x<0时,原级数发散 (3)当1+x=1,→x=0或x=-2, 当x=时,级数(收敛 当x=-时,级数∑发散; 故级数的收敛域为(-∞,-2)∪[0,+∞)
1, 1 1 (2) + x 当 1+ x 1, 即− 2 x 0时, 原级数发散. 当 x = 0时, = − 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x = −2时, =1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为(−,−2)[0,+). (3) 当|1+ x |= 1, x = 0或x = −2
4.函数项级数与其部分和 对于(3,其部分和为 =1 则∑n2(x)的收敛性与函数序列S}的收敛性 在本质上是完全一致的
4.函数项级数与其部分和 在本质上是完全一致的
函数项级数(或函数序列)的基本问题 1.极限运算与无限求和运算交换次序问题 x→x0y=1 n=1+~M 注:对函数序列S(而言,应为 x→Ⅺ-0 M-00x→0
二 函数项级数（或函数序列）的基本问题 1.极限运算与无限求和运算交换次序问题