10.2无穷和分的收数性质与判别 无穷积分的性质 无穷积分收敛的判别法
10. 2 无穷积分的收敛性质与判别 一 . 无穷积分的性质 二. 无穷积分收敛的判别法
性质1 若[f(x)与f(x)bx都收敛,k1,k2为任意常数,则 [k1f1(x)+k2,f2(x)x也收敛,且 Tk f(x)+k,f2(x)]dx=k,l f(x)dx+kal f2(x)dx 性质2 若任何有限区间a,n上可积,a<b 则f(x)与f(x)bx同敛散,且 r f(x)dx=5/()dx+5f(xxx
一 . 无穷积分的性质 性质１ 若 f x dx与 f x dx都收敛，k k 为任意常数， 则 a a 1 2 1 2 ( ) ( ) , + + k f x k f x dx也收敛， 且 a [ ( ) ( )] 1 1 + 2 2 + + + + + = + a a a [k f (x) k f (x)]dx k f (x)dx k f (x)dx. 1 1 2 2 1 1 2 2 性质２ 若f在任何有限区间[a,u]上可积，a b 则 f x dx与 f x dx同敛散， 且 a b + + ( ) ( ) f (x)dx f (x)dx f (x)dx. b b a a + + = +
性质3 若在任何有限区间an上可积,且(x)收敛 则f(x)收敛,且 f(x)dxs.f(x)dx 当厂(x收敛时,称厂f(x)为绝对收敛 性质3说明绝对收敛的级数自身一定收敛.但自身收敛的级数 不一定绝对收敛 我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛
性质３ f a u ， f x dx ， a 若 在任何有限区间 上可积 且 收敛 + [ , ] ( ) 则 f x dx必收敛， 且 a + ( ) f (x)dx f (x)dx. a a + + 注 当 ( ) 收敛时 称 ( ) 为绝对收敛. + + a a f x dx ， f x dx 性质３说明绝对收敛的级数自身一定收敛．但自身收敛的级数 不一定绝对收敛． 我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛．
1,柯西准则 无穷积分[f(x)收敛的充要条件是 =0C2只要>G便有[3 2,比较原则 设定义在a,+∞)上的两个函数和g都在任何有限区间上可积 且满足(x)≤g(x),x∈[a+∞)
二. 无穷积分收敛的判别法 ２，比较原则 无穷积分 ( ) 收敛的充要条件是: + a f x dx 0,G a,只要u1 ,u2 G,便有 ( ) . 2 1 u u f x dx １，柯西准则 设定义在[a,+)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积， 且满足 f (x) g(x), x[a,+)
2比较原则 设定义在a+)上的两个函数都在任何有限区间上可积 且满足(x)≤g(x)x∈[a+∞)则 若厂g(x)敛,则(x)收敛 若厂(x发散,则厂8(x)b发散 推论 设和都在任何有限区间a上可积g(x)>0.且mn(x) x*+oo g(x ()当0<c<+时,1(x)与,g(x)同敛散 ()当c=0时,若「g(x)收敛,则1(x)收敛 (i)当c=+时,若[g(x)发散,则f(x)发散
２，比较原则 设定义在[a,+)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积， 且满足 f (x) g(x), x[a,+) 则 若 g(x)dx收敛， 则 f (x)dx收敛; a a + + 若 ( ) 发散 则 ( ) 发散. + + a a f x dx ， g x dx 推论 + + + a a (i) 当0 c 时， f (x)dx与 g(x)dx同敛散; 设f和g都在任何有限区间[a,u]上可积，g (x) 0,且 c g x f x x = →+ ( ) ( ) lim (ii) 当c 0时， 若 g(x)dx收敛， 则 f (x)dx收敛; a a + + = (iii) 当c 时， 若 g(x)dx发散， 则 f (x)dx发散. a a + + = +
3,柯西判别法 设定义在a,+∞a>0)且在任何有限区间a,上可积 则当f(x)≤,x∈a+0)且0<<时(x)收敛 当(x)2,x∈[a+)且≥时厂(x)发散 推论 设定义在a,+∞),且在任何有限区间a,u上可积,且 lim xPf(x)=n x→)+0 则(0)当0<p10≤4<+时咧(x)收敛 (i)当p≥1,0<4≤+∞时 咧。(x)发散
３，柯西判别法 设f定义在[a,+)(a 0)， 且在任何有限区间[a,u]上可积， lim ( ) = . →+ x f x p x 1 ( ) , [ , ) 1 ( ) ; p a f x x a p f x dx x + 则 当 + 且 0＜ ＜时 收敛 当 , [ , )且 1时 ( ) .发散 1 ( ) x a p f x dx x f x a p + + 推论 设f定义在[a,+)， 且在任何有限区间[a,u]上可积， 且 ( ) 1,0 ( ) ; a i p f x dx + + 则 当 0＜ ＜ 时 收敛 ( ) 1,0 ( ) . a ii p f x dx + + 当 时 发散
4,狄利克雷判别法 若F(x)=f(x)御a+)上有界,8(x+)上 当x→+时单调趋于0则「f(xg(x)收敛 5,阿贝尔判别法 若「f(x)收敛,g(x)在a,+∞)上单调有界,则 f(x)g(x)d收敛
４，狄利克雷判别法 若 = u a F(x) f (x)dx 在[a,+)上有界， g(x)在[a,+)上 当x →+时单调趋于0， 则 ( ) ( ) 收敛. + a f x g x dx ５，阿贝尔判别法 若 + a f (x)dx 收敛，g (x)在[a,+)上单调有界， 则 ( ) ( ) 收敛. + a f x g x dx
例1.讨论「计收敛性, 解:由于 sIn xx [0,+∞) 1+x21+x 且 b1+、xx=x收敛 2 根据比较原则 +oo sIn x d绝对收敛 01+
解： 例1. 讨论 收敛性， + 0 + 2 1 sin dx x x , [0, ) 1 1 1 sin 2 2 + + + x x x x 由于且 收敛 1 2 1 0 2 = + + dx x 根据比较原则 绝对收敛. + 0 + 2 1 sin dx x x
例2.讨论下列无穷积分的收敛性, +∞ +1 解(1):由于a∈R都有mnx2xc=hmx=0 x→+00 x2+oo e 根据柯西判别法 ∫xeva∈R都收敛 解(2): 由于limx2 x→+∞0 √x3+1 根据柯西判别法 +0 b,,ax发散
例2. 讨论下列无穷积分的收敛性， + + − + 0 5 2 1 . 1 (1) ; (2) dx x x x e dx x 解(1)： 由于 R,都有 lim lim 0, 2 2 = = + →+ − →+ x x x x e x x x e 根据柯西判别法 + − 1 x e dx x R都收敛. 解(２)： 1 1 lim 5 2 2 1 = + →+ x x x x 由于 根据柯西判别法 + + 0 5 2 1 dx x x 发散
例3判别广义积分 0d的收敛性 3x4+1 解 ∵.0 3 根据比较原则, 广义积分 a收敛 3x4+1
例3 . 1 1 判别广义积分 3 4 的收敛性 + x + dx 解 , 1 1 1 1 0 3 4 3 4 4 / 3 x x x = + 1, 3 4 p = 根据比较原则， . 1 1 广义积分 3 4 收敛 + x + dx