6.3几类特殊函数的 不定积分 有理函数的积分 三角函数有理式的积分 简单无理函数的积分
6.3 几类特殊函数的 不定积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分
有理函数的积分 有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数称之 P(x) ox"+a,x++a-x+a o() box+bx+.+bmx+b 其中m、n都是非负整数;a0,a1,…,an及 bn,b1,…,bn都是实数,并且an≠0,b0≠0
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其中m、n都是非负整数；a a an , , , 0 1 及 b b bm , , , 0 1 都是实数，并且a0 0，b0 0 . 一、有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式 (1)n<m这有理函数是真分式; (2)n≥m,这有理函数是假分式; 利用多项式除法,假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和 x3+x+1 例 =X+ x2+1 x2+1 难点将有理函数化为部分分式之和
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点 将有理函数化为部分分式之和
有理函数化为部分分式之和的一般规律: (1)分母中若有因式(x-a),则分解后为 A k_1+…+ k (x-a)(x-a) x-a 其中A1,A2,…,A4都是常数 A 特殊地:k=1,分解后为 x-l
（1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A −
(2)分母中若有因式(x2+px+q),其中 P2-4q<0则分解后为 M、Ny+(2 M2x+N2 Mx+N (x2+px+q)( k1+…+-2 x t pxt q r t pxt q 其中M1,N都是常数(i=1,2,…,k) Mx+ 特殊地:k=1,分解后为 x t pxt q
（2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2 + + 4 0 则分解后为 2 p − q x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中Mi Ni , 都是常数(i = 1,2,,k). 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + +
真分式化为部分分式之和的待定系数法 x+3 x+3 A B 例1 x2-5x+6(x-2)(x-3)x-2x-3 x+3=A(x-3)+B(x-2) x+3=(4+B)x-(3A+2B) A+B=1, A=-5 → (34+2B)=3,-(B=6 x+3 5 6 x2-5x+6x-2x-3
真分式化为部分分式之和的待定系数法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x , 2 − 3 + − = x B x A x + 3 = A(x − 3) + B(x − 2), x + 3 = (A+ B)x − (3A+ 2B), − + = + = (3 2 ) 3, 1, A B A B , 6 5 = = − B A 5 6 3 2 − + + x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x 例1
B 例2 2 c(x xC 1=A(x-1)2+Bx+Cx(x-1) 代入特殊值来确定系数ABC 取x=0,→A=1取x=1,→B=1 取x=2,并将AB值代入(1)→C=-1 rlx xx x
2 ( 1) 1 x x− , ( 1) 1 2 − + − = + x C x B x A 1 ( 1) ( 1) (1) 2 = A x − + Bx +Cx x − 代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x = 0, A = 1 取 x = 1, B = 1 取 x = 2, 并将 A,B 值代入 (1) C = −1 . 1 1 ( 1) 1 1 2 − − − = + x x x 2 ( 1) 1 − x x 例2
A Bx+c 例3 (1+2x)(1+x2)1+2x1+x2 l=A(1+x2)+(Bx+C(+2x) 整理得1=(4+2B)x2+(B+2C)x+C+A, A+2B=0, 4 B+2C=0,→A B C A+C=1, 2-52 4 Xt 5+ 5 (1+2x)(1+x2)1+2x1+x2
例3 . 1 5 1 5 2 1 2 5 4 2 x x x + − + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx + C + x 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2 = A+ B x + B + C x + C + A + = + = + = 1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 5 1 , 5 2 , 5 4 A = B = − C = , 1 2 1 2 x Bx C x A + + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 整理得
例4求积分 x(x-1)2 解 dx dx x(x =∫ac+」 xyx x dx dx n x-n(x-1)+C
例4 求积分 . ( 1) 1 2 dx x x − dx x x − 2 ( 1) 1 dx x x x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 dx x dx x dx x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 ln( 1) . 1 1 ln x C x x − − + − = − 解
例5求积分 dx (1+2x)(1+x2) 21 x+ 解 sdx (1+2x)(1+x2) d=,5,d+」,5 1+x 1c 2x 2-52-5 ln(1+2x) dx+ dx 51+x 2 51+x In(1+2x)--In(1+x)+=arctan+C. 5
例5 求积分 解 . (1 2 )(1 ) 1 2 + + dx x x dx x x dx x + − + + + = 2 1 5 1 5 2 1 2 5 4 + + dx (1 2x)(1 x ) 1 2 dx x dx x x x + + + = + − 2 2 1 1 5 1 1 2 5 1 ln(1 2 ) 5 2 arctan . 5 1 ln(1 ) 5 1 ln(1 2 ) 5 2 2 = + x − + x + x + C