西北师范大学在我内攻 2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题 学科专业基础数学 研究方向 考试科目:数学分析 考试日期:月27日上午 (答案一律做在答题纸上,做在试题上无效) (试题共2页) 满分40分,每小题8分)计算题: 1. lim 4n2+1+√4n2+2+…+(2n In(2+sinx) sin adn (I+sinx) cos-sinr r(+y)dr-(x-y)dy x十 ,其中c是中心在坐标原点,边长为a, 且一边与ON轴平行的正三角形的边界,取逆时针方向 5.jx-2|dd,D=10.1
二.(满分60分,每小题15分)证明题: 6.设函数∫在闭区间[a,b]上有连续的一阶导数,在开区间 (a,b)内有二阶导数,∫(a)=f(b),∫"(a)∫(b)>0.试证明:对任何 实数a,方程f∫'(x)-af(x)=0在(a,b)内有实根, 7.设∫是区间[0,1]上(R)可积的正值到数.试证明:对任何 正数a,有不等式 In /(x)drs-In I(f(x)r: 8.设函数∫(x)在点x0=0有连续的二阶导数,且∫(0)=0.试证明: (1)若f(0)≠0,则级数∑f()发散 (2)若f(O)=0,则级数∑∫()收敛 9.设函数f(xy)在R2内可微,4和l2是R2内一组线性无关的向 量.试证明:若在R内f(x,y)沿1和12的方向导数f(x,y)=f2(x,y)=0, 则f(xy)是R2内的常值函数
