第四章实数的完备性 4.2闭区间上连续函数性质的证明
第四章 实数的完备性 4.2 闭区间上连续函数性质的证明
有界性定理 若函数f在闭区间[a,b上连续,则∫在[a,b]上有界 证明:(应用有限覆盖定理证明) 由连续函数的局部有界性, x∈[a,b],3U(x;,),丑M>0使得 (x)≤Mx∈U(x:6)[a,61 考虑开区间集H={(x:6,)x∈[ab 显然H是a,b的一个无限开覆盖,由有限覆盖定理, 存在的一个有限子集H={(x:0)x∈[ab](=12,…,k
一 有界性定理 若函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续,则 f 在 [a,b] 上有界. 证明: 由连续函数的局部有界性， x ' [a,b],U(x ' ; x ' ),M x ' 0使得 ( ) ' ( ; ' ) [ , ]. ' f x M x U x a b x x { ( ; ) [ , ]}, ' ' H U x ' x a b x 考虑开区间集 = 显然H是[a,b]的一个无限开覆盖， 由有限覆盖定理， H H {U(x ; ) x [a,b],i 1,2, , k} 存在 的一个有限子集 = i i i = (应用有限覆盖定理证明)
覆盖了a,b1且存在正数M1,M2…Mx,使得 x∈U(x2)⌒[a,b1有f(x)≤Mi=1,2…k 令M=maxM 则x∈a,b]x必属于某U(x;0)→f(x)≤M≤M 从而在[a,b上有界 最大最小值定理 若函数f在闭区间[a,b上连续,则∫在[a,b]上有最大值和最小值 证明(应用确界原理证明) 由于已证得ab上有界故由确界原理f(a,b])有上确界, 记为M
x U(x ; ) [a,b]. f (x) M i 1,2, , k. i i 有 i = i i k M M = 1 令 max x [a,b], x U(x ; ) f (x) M M. 则 必属于某 i i i 从而f在[a,b]上有界. 二 最大最小值定理 若函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续,则 f 在 [a,b] 上有最大值和最小值. 证明: 覆盖了[a,b]， 且存在正数M1 ,M2 , ,MK ,使得 (应用确界原理证明) 由于已证得f在[a,b]上有界.故由确界原理, f ([a,b])有上确界， 记为M
以下证明:三∈[ab使f(=)=M 假设vx∈[a,b都有f(x)<M,令 g(x) x∈|a M-f( 则g(x)在a,b]上连续,故g(x)在[a,b上有界,设G是g的一个上界 则0<g(x G,x∈[a,b] M-f(x) 从而推得f(x)≤M x∈a2 b] 这与Mf(a,b的上确界(最小上界)相矛盾 所以必三∈[a,b]使f(2)=M即a,b上有最大值 同理可证fa,b上有最小值
以下证明: [a,b],使f () = M. 假设x[a,b] 都有f (x) M,令 , [ , ]. ( ) 1 ( ) x a b M f x g x − = 则g(x)在[a,b]上连续， 故g(x)在[a,b]上有界， 设G是g的一个上界， , [ , ]. ( ) 1 0 ( ) G x a b M f x g x − 则 = , [ , ]. 1 ( ) x a b G 从而推得 f x M − 这与M为f ([a,b])的上确界(最小上界)相矛盾. 所以必 [a,b],使f () = M.即f在[a,b]上有最大值. 同理可证f在[a,b]上有最小值
三介值性定理 设函数f在闭区间a,b上连续,且f(a)≠f(b),若为介于 f(a)和f(b)之间任何实数,则存在x0∈(a2b),使得f(x0)=4 证明(应用区间套定理证明 不妨设f(a)0 即证x0∈(a,b)使得g(x)=0(根的存在性定理) 将ab等分为两个子区间aqc,b若g(c)=0,则c即为所求 若g(c)≠0.则当g()>O时[a12b]=[a,cl 当g(c)<O时记a1b]=[c,b
三 介值性定理 设函数 在闭区间 上连续,且 ,若 为介于 和 之间任何实数, 则存在 , 使得 . f f (x0 ) = [a,b] ( , ) x0 a b f (a) f (b) f (a) f (b) 证明: (应用区间套定理证明) 不妨设f (a) f (b),令g(x) = f (x) −, 则g是[a,b]上的连续函数， 且g(a) 0, g(b) 0 ( , ), ( ) 0 ( ). 即证 x0 a b 使得g x0 = 根的存在性定理 将[a,b]等分为两个子区间[a,c]与[c,b]， 若g(c) = 0,则c即为所求; 若g(c) 0,则当g(c) 0时记[a1 ,b1 ] =[a,c]， 当g(c) 0时记[a1 ,b1 ] =[c,b]
则有g(a1)0,且a1,b]c[a,bb1-a1=(b-a) 再从a1,b出发,重复上述过程,得到: 或者在的中点c上有g(c)=0 或者在a2b2]满足g(a2)0,且 Cla (b-a) 将上述过程不断进行下去,将出现两种情形 (1)在某一区间的中点c1上有g(c1)=0,则c即为所求 ()在任一区间的中点c上均有g(c1)≠0则得到闭区间列{an2b] 满足g(an)0,且
( ). 2 1 ( ) 0 ( ) 0, [ , ] [ , ] 则有g a1 ， g b1 且 a1 b1 a b ，b1 − a1 = b − a [ , ] : 再从 a1 b1 出发， 重复上述过程， 得到 [ , ] ( ) 0, 或者在 a1 b1 的中点c1 上有g c1 = 或者在[a2 ,b2 ]上满足g(a2 ) 0, g(b2 ) 0,且 将上述过程不断进行下去， 将出现两种情形: ( ). 2 1 [ , ] [ , ], 2 2 1 1 2 2 2 a b a b b − a = b − a ( ) 在某一区间的中点 上有 ( ) 0,则 即为所求; i i i i c g c = c ( ) ( ) 0, {[ , ]} i i an bn ii 在任一区间的中点c 上均有g c 则得到闭区间列 满足g(an ) 0.g(bn ) 0,且
Lan+,omclanblb-a,sl 2(b-a,n=1 由区间套定理,彐x∈[a,b]n=1.2 下证g(x0)=0 假设g(x0)≠0不妨设g(x0)>0.由局部保号性 U(x0;),使在其内有g(x0)>0 由区间套定理推论,当n充分大时有anbn]cU(x0;) 因而有g(an)>0 这与an,bn选取时g(an)<0矛盾 故必有g(x0)=0
[ , ], 1,2, . 由区间套定理， x0 a b n = ( ) 0. 下证g x0 = 假设g(x0 ) 0.不妨设g(x0 ) 0,由局部保号性 ( ; ), ( ) 0, U x0 使在其内有g x0 [ , ] ( ; ), 由区间套定理推论， 当n充分大时有 an bn U x0 这与[ , ]选取时 ( ) 0矛盾. an bn g an ( ) 0. 因而有g an ( ) 0. 故必有g x0 = ( ), 1,2, . 2 1 [ , ] [ , ] an+1 bn+1 an bn ，bn − an = n b − a n =
四一致连续性 若函数f在闭区间[a,b止连续,则f在[a,b上一致连续 证明:(应用有限覆盖定理证明) 由在a,b上的连续性 VE>0,Vx∈[a,b36>0,当x∈U(x6)时有 f(x)-f(x)< 考虑开区间集合H={(x,0)x∈[a,b]} 显然H是a,b的一个开覆盖,由在限覆盖定理 存在H的一个有限子集H={, 1,2,…k}
四 一致连续性定理 若函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续,则 f 在 [a,b] 上一致连续. 证明: (应用有限覆盖定理证明) 由f在[a,b]上的连续性 0,x[a,b], x 0,当x ' U(x; x )时有 ( ) ( ) . ' f x − f x ) [ , ]}, 2 H {U(x, x a b x = 考虑开区间集合 显然H是[a,b]的一个开覆盖， 由在限覆盖定理 ) 1,2, }, 2 H H {U(x , i k i = i = 存在 的一个有限子集
覆盖了ab记m/o 0 1≤k≤sk2 x,x∈Eb1x-x1<6x必属于F中某个开区间, 设x∈U(x1,),即x-x 此时有 x-x<x-x+x-x<6+≤ 22 同时有(x)-f(x)<2,(x)-/ 由此得(x)-f(x)<E 所以a,b上一致连续
0. 2 [ , ]. min 1 = i k k a b 覆盖了 记 x x a b x x x必属于H 中某个开区间， − ' '' ' '' ' , [ , ], , 设x U xi i 即x x i ， 此时有 2 ), 2 ( , ' − , 2 2 2 '' '' ' ' i i i i i i x x x x x x − − + − + + = . 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ' '' 同时有 f x − f xi ， f x − f xi ( ) ( ) . ' '' 由此得 f x − f x 所以f在[a,b]上一致连续
实数基本定理应用 例1设f(x)是闭区间[a,b]上的递增函数,但不必连续 如果f(a)≥a,f(b)≤b,则x∈[a,b],使f(x0)=x 东大学研究生入学试题) 证法 (用确界技术) 设集合F={x1f(x)≥x,a≤x≤b}.则a∈F,F不空 Fc[a,b],F有界.由确界原理,F有上确界 设 x0=SUDF,贝 [a,b] 下证f(x0)=x0
二. 实数基本定理应用举例： 例1 设 f (x)是闭区间[ a ,b ]上的递增函数, 但不必连续 . 如果 f (a) a , f (b) b , 则 x0 [ a ,b ], 使 0 0 f (x ) = x . ( 山 东大学研究生入学试题 ) 证法 一 ( 用确界技术 ) 设集合 F = { x | f (x) x , a x b}. 则a F , F 不空 ; F [ a ,b ] , F 有界 . 由确界原理 , F 有上确界. 设 x0 = sup F , 则 x0 [ a ,b ]. 下证 0 0 f (x ) = x