定积分的应用习题課
定积分的应用习题课
、主要内容 微元法 的所 特求 点 解题步 定积分应用中的常用公式
微 元 法 理 论 依 据 名 称 释 译 所 求 量 的 特 点 解 题 步 骤 定积分应用中的常用公式 一、主要内容
1、理论依据 设∫(x)在[ab上连续,则它的变上限积分 U(x)= f(du 是f(x)的一个原函数,即U(x)=f(x)kx, 于是 f(r)dx= dU=U (2) 这表明连续函数的定积分就是(1)的微分的 定积分
1、理论依据 . (1) ( ) (2) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) (1) ( ) [ , ] , 定积分 这表明连续函数的定积分就是 的微分的 于是 是 的一个原函数 即 设 在 上连续 则它的变上限积分 f x dx dU U f x dU x f x dx U x f t dt f x a b b a b a x a = = = =
2、名称释译 由理论依据(2)知所求总量A就是其微分 dU=f(x)dx从a到b的无限积累(积分) U=I f(x)dx 这种取微元f(x)dbx计算积分或原函数的 方法称微元法
2、名称释译 . ( ) ( ) ( ) ( ): (2) , 方法称微元法 这种取微元 计算积分或原函数的 从 到 的无限积累 积分 由理论依据 知 所求总量 就是其微分 f x dx U f x dx dU f x dx a b A b a = =
3、所求量的特点 (1)U是与一个变量的变化区间a,b有关 的量; (2)U对于区间[a,b具有可加性,就是说, 如果把区间a,b分成许多部分区间,则相 应地分成许多部分量,而等于所有部分量之 和 (3)部分量△U的近似值可表示为f(5)△x 就可以考虑用定积分来表达这个量U
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关 的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U. 3、所求量的特点
4、解题步骤 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如x为 积分变量,并确定它的变化区间a,bl 2)设想把区间[,b分成n个小区间,取其中任 小区间并记为[x2x+dx],求出相应于这小区 间的部分量△U的近似值.如果△U能近似地表 示为a2b上的一个连续函数在x处的值f(x)与 dx的乘积,就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU,即dU=f(x)dx; 3)以所求量U的元素f(x)bc为被积表达式,在 区间a,b上作定积分,得U=f(x)dx, 即为所求量U
1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[x, x + dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值．如果U 能近似地表 示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值 f (x)与 dx的乘积，就把 f (x)dx称为量U 的元素且记作 dU，即dU = f (x)dx； 3）以所求量U 的元素 f (x)dx为被积表达式，在 区间[a,b]上作定积分，得 = b a U f (x)dx， 即为所求量U ． 4、解题步骤
5、定积分应用的常用公式 (1)平面图形的面积 直角坐标情形 y=f(x) y=f(x) ytf() 0|a A=f(x)dx A=L2(x)-f(x)ldx
5、定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 x y o y = f (x) = b a A f (x)dx x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx A A 直角坐标情形 a b a b
参数方程所表示的函数 如果曲边梯形的曲边为参数方程 x=p(t) y=y(t) 曲边梯形的面积A=v((d (其中t1和t2对应曲线起点与终点的参数值) 在[t121(或[t2,t1)上x=g(t)具有连续导数, y=y(t)连续
如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 = 2 1 ( ) ( ) t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（ 或[ 2 t , 1 t ]） 上x = (t)具有连续导数， y =(t)连续. 参数方程所表示的函数
极坐标情形 =q(6) g2(6) de r=() A= aJa p(O)2dA=2( 6)-g1(6)l6 2
= A d 2 [ ( )] 2 1 o x d r = ( ) o x ( ) r = 2 ( ) r = 1 = − A [ ( ) ( )]d 2 1 2 1 2 2 极坐标情形
(2)体积 V=lrIf(x)'dx b xp(y) v=nlo()l dy
(2) 体积 x x + dx x yo V f x dx ba 2 [ ( )] = V y dy dc 2 [( )] = x yo x = ( y) cd