第十一章习题课 主要内容 典型例题
第十一章习题课 一、主要内容 二、典型例题
函数项级数主要内容 (1)定义 设u1(x),u2(x),…,un(x),…是定义在IcR上的 函数,则∑u1(x)=41(x)+2(x)+…+B1(x)+ H-=1 称为定义在区间上的(函数项无穷级数 (2)收敛点与收敛域 如果x∈I,数项级数∑un(x0)收敛, n=1
一、函数项级数主要内容 (1) 定义 设u1 (x),u2 (x),,un (x),是定义在I R 上 的 函数,则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. (2) 收敛点与收敛域 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n un x 收敛
o 则称x为级数∑u(x)的收敛点否则称为发散点 函数项级数∑a1(x)的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域 (3)和函数 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x) 称s(x)为函数项级数的和函数
则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点,否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域, (3) 和函数 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数
函数项级数的一致收敛性 定义设有函数项级数∑u(x).如果对于任意 给定的正数E,都存在着一个只依赖于E的自 然数N,使得当n>N时,对区间I上的一切 x,都有不等式 r(x=s(x)-s,(x)<e 成立,则成函数项级数∑un(x)在区间I上一致 收敛于和s(x),也称函数序列sn(x)在区间I上 致收敛于s(x)
函数项级数的一致收敛性 设有函数项级数 =1 ( ) n un x ．如果对于任意 给定的正数 ，都存在着一个只依赖于 的 自 然 数 N ，使得当 n N 时，对区间 I 上的一切 x，都有不等式 r (x) = s(x) − s (x) n n 成立，则成函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 I上一致 收敛于和s(x)，也称函数序列s (x) n 在区间 I 上 一致收敛于s(x)． 定义
致收敛性简便的判别法: 定理(魏尔斯特拉斯( Weierstrass)判别法) 如果函数项级数∑un(x)在区间上满足条件: (1)un(x)≤an(n=1,2,3…) (2)正项级数∑an收敛 H=1 则函数项级数∑un、(x)在区间上一致收敛
定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法） 如果函数项级数 =1 ( ) n u n x 在区间I 上满足条件: (1) u (x) a (n = 1,2,3) n n ; (2) 正项级数 n=1 n a 收 敛, 则函数项级数 =1 ( ) n u n x 在区间I 上一致收敛. 一致收敛性简便的判别法：
致收敛级数的基本性质 定理1如果级数∑(x)的各项(x)在区间 [a,b]上都连续,且∑un(x)在区间[a,b]上 H=1 致收敛于(x),则s(x)在[a,b]上也连续
一致收敛级数的基本性质 定理1 如果级数 =1 ( ) n un x 的各项u (x) n 在区间 [ a,b ]上都连续,且 =1 ( ) n un x 在区间[ a,b ]上 一 致收敛于s(x),则s(x)在[ a,b ]上也连续
定理2如果级数∑u(x)的各项n(x)在区间 [a,b]上都连续,且∑un(x)在区间[a,b]上 致收敛于s(x),则s(x)在[a,b]上可以逐项积分, 即[s(x)/ =u1(x)d+a2(x)dbx+…+|an(x)d+…(4 其中a≤x0<x≤b,并且上式右端的级数在 [a,b]上也一致收敛
定理 2 如果级数=1 ( ) n un x 的各项u (x) n 在区间 [ a,b ]上都连续,且=1 ( ) n un x 在区间[ a,b ]上 一 致收敛于s(x),则s(x)在[ a,b ]上可以逐项积分, 即 = + + xx xx xx u x dx u x dx s x dx 0 0 0 ( ) ( ) ( )1 2 + + xx un x dx 0 ( ) 其 中 a x0 x b, 并 且上 式 右 端的 级 数 在 [ a,b ]上也一致收敛. (4)
定理3如果级数∑u(x)在区间[a,b]上收敛 于和(x),它的各项un(x)都具有连续导数 u(x),并且级数∑u(x)在[u,b]上一致收敛 则级数∑un、(x)在[a,b]上也一致收敛,且可逐 项求导,即 s(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)+
定理3 如果级数 =1 ( ) n un x 在区间[ a,b ]上收敛 于 和 s(x) ，它的各项u (x) n 都具有连续导数 u (x) n ，并且级数 = 1 ( ) n un x 在[ a,b ]上一致收敛， 则级数 =1 ( ) n un x 在[ a,b ]上也一致收敛，且可逐 项求导，即 s(x) = u1 (x) + u 2 (x) ++ u n (x) + (5)
注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导 例如,级数 sInx sin2“×Ninn%x 2 在任何区间a,b上都是一致收敛的 逐项求导后得级数 cosx+cos2x+…+ cost+ 因其一般项不趋于零,所以对于任意值x都是 发散的 所以原级数不可以逐项求导
注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导. 例如，级数 + ++ 2 + 2 2 2 2 sin 2 sin2 1 sin n x x n x 在任何区间[a,b]上都是一致收敛的. 逐项求导后得级数 cos cos 2 cos , x + 2 x ++ n 2 x + . , 发散的 因其一般项不趋于零 所以对于任意值 x 都是 所以原级数不可以逐项求导．
典型例题 例1求级数∑)1 的收敛域 H-=1 n 1+x 解由达朗贝尔判别法 n+1 x u,(x) n+11+x → (n→>∞) (1)当 1+x 1 即x>0或x<-2时,原级数绝对收敛
例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 + − = 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + + = 1 1 1 ( ) 1 1 → + → n x 1, 1 1 (1) + x 当 即 x 0或x −2时, 原级数绝对收敛. 1+ x 1, 二、典型例题