第八章 部分习题 2.对于n阶成比例阵A=(n)设a",e=1+,其中=(m…)是对 应与最大特征根的特征向量,S表示an在一致性附近的扰动,若为方差δ2的随机 变量,证明一致性指标C/≈ 5.为减少层次分析法中的主观成分,可请若干专家每人构造成对比较阵,试给出一种由若 干个成对比较阵确定权向量的方法 7.右图是5位网球选手循赛的结果。作为竞赛图,它是双和向连通的吗?找出几条完全路 用适当排出5位选手的名次 16.奇数个席位的理事会由三派组成,议会表决实行过半数通过方案,证明在任一派都不能 操纵表决的条件下,三派占有的席位不论多少,他们在表决中的权重都是一样的。 参考答案 2.记A的特征根为4,由O1=∑a,0,(=12…,)和an 可得 ∑c+.注意到6=1+8,—致性指标为 A-n-1 nlm ∑∑
第八章 部分习题 2. 对于 n 阶成比例阵 ( ) A = aij ,设 a ij = j i w w ij , ij ij = 1+ ,其中 ( ) T w w wn , , 1 = 是对 应与最大特征根的特征向量， ij 表示 a ij 在一致性附近的扰动，若 ij 为方差 2 的随机 变量，证明一致性指标 2 2 CI 5. 为减少层次分析法中的主观成分，可请若干专家每人构造成对比较阵，试给出一种由若 干个成对比较阵确定权向量的方法 7. 右图是 5 位网球选手循赛的结果。作为竞赛图，它是双和向连通的吗？找出几条完全路 径， 用适当排出 5 位选手的名次。 16. 奇数个席位的理事会由三派组成，议会表决实行过半数通过方案，证明在任一派都不能 操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。 参考答案 2. 记 A 的特征根为 ，由 ( ) = = = n j i ij j a i n 1 1,2, 和 ij j i aij = 可得 = = − = = + = − = + n i n j n i n j i i j i j i j i j n a n 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 。注意到 ij ij = 1+ ，一致性指标为 ( ) ( ) − = = + − = = + − − + − = − − = − − = 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n i n j i n i n j i i j i j i j n n n n n n n CI
5.设有个专家的成对比较矩阵A1=(a)k=12.,),要给出综合的权向量 =(a1…,On),方法很多,如 方法一:由A(求出权向量vr()=()…)。再求几何平均值, 9)(=1…“,是第k个专家的加权因子,满足∑2=1 最后归一化为 ∑ 方法二:先取a的几何平均,得到综合的成对比较阵A ∏49)G,=1…)同上,再由A计算权向量O 7.竞赛图是双向连通的,2-4-5-3-1,5-3-1-2-4等都是完全路径,图的邻接矩阵 01010 为:A=10000 00101 l1100 各级得分向量为 s=s=(2,2,2,3),s2)=(43,2,4.5),s)=(7,6,4,7,9),s()=(13.1171317)y。由此 可知,名次为5(4)2,3(选手1和4名次相同)。这个结果也可由计算A的最大特征根λ和 对应特征向量s得到=18393 s=(021370.179401162,0213702769) 16.设三派的席位分别为n1,n2,n3,记n1+n2+n3=n(奇数),任一派不能操纵表决,即 n,n2,n2l-1 即任两派的席位过半数。显然三 派的权重都是一样的各占
5. 设有 s 个专家的成对比较矩阵 ( ) ( ) A (a )(k s) k ij k = =1,2, ，要给出综合的权向量 ( ) n , , = 1 ，方法很多，如 方法一：由 (k ) A 求出权向量 ( ) ( ) ( ) ( ) k n k k w = w1 , ,w 。再求几何平均值 wi ~ ， ( ) ( ) ( ) k s k k i i w i n k 1, , , ~ 1 = = = 是第 k 个专家的加权因子，满足 1 1 = = s k k 最后归一化为 = = n i i i i w 1 ~ ~ . 方法二：先取 (k ) aij 的几何平均，得到综合的成对比较阵 ( ) n n A aij = ， ( ) ( ) ( ) k s k k ij ij a a i j n k , 1, , , 1 = = = 同上，再由 A 计算权向量 . 7. 竞赛图是双向连通的， 2 − 4 − 5 − 3 −1,5 − 3 −1− 2 − 4 等都是完全路径，图的邻接矩阵 为： = 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 A 各级得分向量为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T s s 2,2,1,2,3 ,s 4,3,2,4,5 ,s 7,6,4,7,9 ,s 13,11,7,13,17 1 2 3 4 = = = = = 。由此 可知，名次为 5,1(4),2,3 （选手 1 和 4 名次相同）。这个结果也可由计算 A 的最大特征根 和 对应特征向量 s 得到 = 1.8393, ( ) T s = 0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769 . 16. 设三派的席位分别为 1 2 3 n ,n ,n ，记 n1 + n2 + n3 = n （奇数），任一派不能操纵表决，即 2 1 , , 1 2 3 + n n n n ，于是 2 1 , , 1 2 1 3 2 3 − + + + n n n n n n n ，即任两派的席位过半数。显然三 派的权重都是一样的各占 3 1