前面介绍了一般的函数项级数,重点 是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以 及一致收敛函数项级数的性质从今天开始, 我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函 数项级数,一类是“幂级数”(代数多项式 的推广);另一类是“ Fourier级数” 角多项式的推广,三角级数的特例,在物理 中有广的应用)
引言 前面介绍了一般的函数项级数，重点 是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以 及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始， 我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函 数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式 的推广）；另一类是“Fourier级数”（三 角多项式的推广，三角级数的特例，在物理 中有广的应用）
11.4幂级数 幂级数及其收敛性 幂级数的性质 幂级数的运算
11.4 幂级数 一 幂级数及其收敛性 二 幂级数的性质 三 幂级数的运算
、幂级数及其收敛性 1.定义 函数项级数 ∑un(x)= 1x)+,x+…+Ln(x)+ 幂级数 幂级数系数 .(x-x +a1(x-x0)+…+an(x-x0)“+ 0时,∑ ax=a tax n=0
一、幂级数及其收敛性 1.定义 函数项级数 ( ) = ( )+ ( )++ ( )+ = u x u x u x un x n n 1 2 1 幂级数 − = + − ++ − + = n n n n n a (x x ) a a (x x ) a (x x ) 0 1 0 0 0 0 幂级数系数 0 0 1 0 0 n n n n n x a x a a x a x = 注：当 = = + + + + 时，
2.幂级数的收敛点与收敛域 如果x∈I,数项级数∑u1(x)收敛 : 则称x为级数∑n1(x)的收敛点,否则称为发散点 H=1 函数项级数∑1(x)的所有收鲛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域
2.幂级数的收敛点与收敛域 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域
例如级数∑x=1+x+x2+ 当x<时,收敛;当x≥时,发散 收敛域(-11);发散域(-∞,-11,+0); 上的那些 点使
1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 当x 1时,收敛; 当x 1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+); 因此级数敛散性的问题对于函数项级数或 幂级数而言，正确的提法是区间上的那些 点使级数收敛，那些点使级数发散？
3.和函数 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x) 称(x)为函数项级数的和函数 s(x)=1(x)+2(x)+…+n(x)+ 定义域是什么?定义域就是级数的收敛域 函数项级数的部分和n(x)Iims(x)=s(x) n→00 余项r(x)=s(x)-s(x) imr(x)=0(x在收敛域上 n→0o 注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是常数项级数的收敛问题
lim s (x) s(x) n n = → 函数项级数的部分和 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) → rn x n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是常数项级数的收敛问题. 3.和函数 s(x) = u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. 定义域是什么? s (x), n 定义域就是级数的收敛域
定理11.1(Abe定理) 如果级数∑x在x=x1(x0≠0)处收敛则 n=0 它在满足不等式xx的一切处发散 证明(1):∑anx0"收敛,: lima x=0 nE
定理 11.1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x处绝对收敛; 如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 证明 lim 0, 0 = → n n n (1) , a x 0 0 收敛 n= n an x
彐M,使得ax≤M(n=012,) x n ax=n 0 =a. 0 ≤M 0 0 当<时,等比级数∑M收敛 0 0 o ∑a,x"枚敛,即级数∑anx收敛 =0 0
( 0,1,2, ) a x0 M n = n 使得 n M, n n n n n n x x a x a x 0 0 = n n n x x a x 0 0 = n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M = , 0 收敛 = n n an x ; 0 即级数 收敛 n= n an x
(2)假设当x=x时发散, 而有一点x1适合x1|>x0使级数收敛 由()结论则级数当x=xn时应收敛, 这与所设矛盾 几何说明 收敛区域 发散区域-R0 R发散区域
(2) , 假设当x = x0时发散 而有一点x1适合 x1 x0 使级数收敛, 则级数当x = x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域
由定理11.1知道 如果幂级数anx"不是仅在x=0一点收敛,也 n=0 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当xR时,幂级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散
如果幂级数 n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 由定理11.1知道